[論文レビュー] The Quantum Approximate Optimization Algorithm Needs to See the Whole Graph: A Typical Case

Edward Farhi, David Gamarnik+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 16被引用数 88

ひとこと要約

本論文は、ランダムな疎グラフにおいて、浅い深さのQAOA（p = O(log n)）は、局所性およびOverlap Gap Propertyのため、最適独立集合サイズの定数割合を超えることができない、ということを証明する。ただし、pが十分大きくなり、アルゴリズムが全グラフを実質的に見ることができるようでなければ。

ABSTRACT

The Quantum Approximate Optimization Algorithm can naturally be applied to combinatorial search problems on graphs. The quantum circuit has p applications of a unitary operator that respects the locality of the graph. On a graph with bounded degree, with p small enough, measurements of distant qubits in the state output by the QAOA give uncorrelated results. We focus on finding big independent sets in random graphs with dn/2 edges keeping d fixed and n large. Using the Overlap Gap Property of almost optimal independent sets in random graphs, and the locality of the QAOA, we are able to show that if p is less than a d-dependent constant times log n, the QAOA cannot do better than finding an independent set of size .854 times the optimal for d large. Because the logarithm is slowly growing, even at one million qubits we can only show that the algorithm is blocked if p is in single digits. At higher p the algorithm "sees" the whole graph and we have no indication that performance is limited.

研究の動機と目的

• QAOAを量子最適化のテストベッドとして、ランダムグラフ上のMISの研究を動機づける。
• グラフの局所性に起因する浅い深さでのQAOAの限界を特徴づける。
• Overlap Gap Property (OGP)を、低深度の量子アルゴリズムへの障壁として導入する。
• QAOA+（剪定を伴う）が、large d および p が log n の定数倍までの範囲で、一定因子の近似を超えることができないことを示す。

提案手法

• MISの局所的なグラフ依存コスト関数を定義し、交互に作用するユニタリ U(C,γ) と U(B,β) を用いてQAOAを実装する。
• 積の初期状態を用い、局所性を分析して、遠く離れたキュービット（2p離れた場合）の測定独立性を証明する。
• ランダムグラフにおける大きなMISのOverlap Gap Property（OGP）を利用して、浅い深さで達成される性能を上限付ける。
• QAOA+を、QAOAの出力を独立集合へ剪定することで導入し、OGPの下での性能を解析する。
• QAOA+出力のハミング重量に関する集中結果を提供し、性能の確率的境界を裏付ける。
• 閾値以下の2pの場合、グラフ補間技法を適用して、十分に高い確率で最適解の固定の分数を超えられないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定平均次数 d を持つランダムグラフに対して、低深さのQAOA（p = O(log n））はMISの一定因子近似を上回ることができるか？
• RQ2 局所性がQAOAの遠距離キュービット間の相関能力をどのように制約し、MISの性能にどう影響するか？
• RQ3 Overlap Gap Propertyが浅い深さの量子アルゴリズムの障害において果たす役割は？
• RQ4 QAOA+としてMISへ剪定することは、局所性とOGPによって課せられた根本的な制限を変えるか？

主な発見

• 固定平均次数 d を持つランダムグラフで、2p <= w log n / log(d/ln 2) (w<1, 大きな d) のとき、QAOAは漸近的に最適な MIS サイズの0.854倍を超えることができない。
• pが十分大きくてアルゴリズムが全グラフを実質的に見ることができる場合、これらの議論から性能に制限は示されない。
• 深さ p=1.5 で適切に設計された初期状態を用いると、large d に対して期待値で約 1.02 n / d の目的値を達成でき、浅い QAOA+ の基準性能を示す。
• Overlap Gap Property は、ほぼ最適な独立集合間のオーバーラップの鋭い分離を意味し、局所性と相関を介して低深度のQAOA+への障害を生み出す。
• 集中結果は、QAOA+出力のハミング重量が高い確率で平均値の周りに集中することを示し、確率境界を裏付ける。
• OGPと局所性の組み合わせは、定数倍の log n までの深さにおいて、QAOA+が大きな d のとき最適解の η* の分数を超える出力を出す可能性が低いという形式的な障害定理を生み出す。