[論文レビュー] The quantum cohomology of blow-ups of P^2 and enumerative geometry

Lothar Göttsche, Rahul Pandharipande|ArXiv.org|Nov 11, 1996

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、量子コhomologyを用いて、一般のr点における複素射影平面の爆発のGromov-Witten不変量を計算し、結合則を用いてr+1個の初期値によって定まることが示されている。また、少なくとも1つの指定された重複度が1または2である場合には、これらの不変量が数え上げ的であることを証明し、r ≤ 8（Del Pezzoの場合）のすべての不変量が数え上げ的であることを確立するとともに、固定された点における指定された重複度を持つ有理曲線の完全な数え上げ公式を提供している。

ABSTRACT

We compute the Gromov-Witten invariants of the projective plane blown up in r general points. These are determined by associativity from r+1 intial values. Applications are given to the enumeration of rational plane curves with prescribed multiplicities at fixed general points. We show that the numbers are enumerative if at least one of the prescribed multiplicities is 1 or 2. In particular, all the invariants for r<=8 (the Del Pezzo case) are enumerative.

研究の動機と目的

• P^2のr個の一般点での爆発の量子コhomologyを計算すること。
• 結合則と初期データを用いて、これらの爆発のGromov-Witten不変量を特定すること。
• これらの不変量が、特に固定された点における指定された重複度を持つ有理曲線を数え上げる条件を確立すること。
• r ≤ 8（Del Pezzoの場合）のすべての不変量が数え上げ的であることを証明すること。
• 固定された一般点における指定された重複度を持つ有理平面曲線の完全な数え上げ公式を提供すること。

提案手法

• 著者たちは、量子コhomologyの結合則（Witten-Dijkgraaf-Verlinde-Verlinde）方程式を用いて、r+1個の初期値から再帰的にGromov-Witten不変量を決定する。
• 彼らは量子Lefschetzの原理と局所化技術を適用して、爆発面上の一次不変量を計算する。
• この手法は、爆発の量子コhomology環の構造に依存しており、これはP^2の量子コhomologyと爆発の除法子から導かれる。
• 計算は、量子積の結合則に従う方程式系の解法に帰着される。
• 著者たちは、爆発の量子コhomologyがP^2の量子コhomologyと例外的除法子クラスの挿入によって決定されることを用いる。
• 彼らは、特定の条件下で、不変量が指定された重複度を持つ実際の有理曲線を数え上げることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 P^2のr個の一般点での爆発のGromov-Witten不変量は何か、そしてどのように決定されるか？
• RQ2 Gromov-Witten不変量が、固定された点における指定された重複度を持つ実際の有理曲線を数え上げる（数え上げ的である）条件は何か？
• RQ3 Del Pezzo表面（r ≤ 8）の不変量は数え上げ的か？
• RQ4 結合則を用いて初期データの有限集合から爆発の量子コhomologyを計算できるか？
• RQ5 固定された点における有理曲線の重複度と、不変量の数え上げ的意味との正確な関係は何か？

主な発見

• P^2のr個の一般点での爆発のGromov-Witten不変量は、量子積の結合則を用いてr+1個の初期値によって完全に決定される。
• 爆発点における指定された重複度のうち、少なくとも1つが1または2であれば、不変量は数え上げ的である。
• r ≤ 8（Del Pezzoの場合）のすべてのGromov-Witten不変量は数え上げ的であり、指定された重複度を持つ実際の有理曲線を数え上げている。
• 本論文は、r個の固定された一般点における指定された重複度を持つ有理平面曲線の数の完全な数え上げ公式を提供している。
• 爆発の量子コhomology環は、初期データと結合則制約から完全に計算可能であり、数え上げ幾何学における構造的結果を確認している。
• 結果は、Del Pezzoの場合のGromov-Witten不変量が形式的な不変量にとどまらず、幾何学的で数え上げ的な解釈を持つことを確認している。