[論文レビュー] The Quantum Fourier Transform and Extensions of the Abelian Hidden Subgroup Problem

Lisa Hales|ArXiv.org|Nov 30, 2002

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 32被引用数 25

ひとこと要約

この論文は、特に $\mathbb{Z}_{2^n}$ および任意の $\mathbb{Z}_N$ における量子フーリエ変換（QFT）のための改善された量子回路を開発することで、量子アルゴリズムを前進させ、共役関数の同一性条件を緩和することでアーベル型隠れ部分群問題（HSP）の範囲を拡張する。実数上での周期発見が $MA$ の複雑さクラスの外にあること、かつ整数上よりも厳密に難しいことを証明し、有限生成アーベル群上の緩和されたHSPに対して効率的な量子解法を提供する。

ABSTRACT

The quantum Fourier transform (QFT) has emerged as the primary tool in quantum algorithms which achieve exponential advantage over classical computation and lies at the heart of the solution to the abelian hidden subgroup problem, of which Shor's celebrated factoring and discrete log algorithms are a special case. We begin by addressing various computational issues surrounding the QFT and give improved parallel circuits for both the QFT over a power of 2 and the QFT over an arbitrary cyclic group. These circuits are based on new insight into the relationship between the discrete Fourier transform over different cyclic groups. We then exploit this insight to extend the class of hidden subgroup problems with efficient quantum solutions. First we relax the condition that the underlying hidden subgroup function be distinct on distinct cosets of the subgroup in question and show that this relaxation can be solved whenever G is a finitely-generated abelian group. We then extend this reasoning to the hidden cyclic subgroup problem over the reals, showing how to efficiently generate the bits of the period of any sufficiently piecewise-continuous function on R. Finally, we show that this problem of period-finding over R, viewed as an oracle promise problem, is strictly harder than its integral counterpart. In particular, period-finding over R lies outside the complexity class MA, a class which contains period-finding over the integers.

研究の動機と目的

• 量子フーリエ変換（QFT）を $\mathbb{Z}_{2^n}$ および任意の $\mathbb{Z}_N$ に対してより効率的な量子回路で実装すること。
• 隠れ部分群関数が異なる共役類上で一意である必要がないという要件を緩和することで、量子多項式時間で解ける隠れ部分群問題のクラスを拡張すること。
• 実数上での隠れ巡回部分群問題を解き、区分的連続関数の周期ビットを効率的に生成できることを可能にすること。
• 実数上での周期発見が整数上よりも厳密に難しいこと、$\mathbb{R}$ 上の周期発見が $MA$ の外にあることによって、量子と古典的複雑さクラスの分離を確立すること。

提案手法

• 固有値推定と制御回転ゲートを用いて、$\mathbb{Z}_{2^n}$ 上のQFTの並列量子回路を設計し、深さを短縮しスケーラビリティを向上させる。
• 新規のフーリエサンプリング技術と位相推定を用いて、任意の $\mathbb{Z}_N$ 上の近似QFTを導入し、誤差を有界に保ちながら回路の深さを改善する。
• フーリエ変換の定理と行列ノルム解析を用いて、QFT近似において生じる行列の作用素ノルムを境界づけ、正確性を保証する。
• ユニタリ不変性と幾何級数の恒等式を用いて、QFT状態およびその近似の忠実度を分析し、特にシフトされた基底状態の文脈で考察する。
• 実周期問題をオракルの約束問題に還元することで、$MA$ からの複雑さ的分離を確立し、行列要素と位相差の境界を用いる。
• 異なる巡回群上のDFTの関係性から得られる知見を活用し、モジュラスをまたいでQFT構成を統合的かつ最適化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{Z}_{2^n}$ 上での量子フーリエ変換を、並列回路の深さを改善しゲート数を削減できるように実装できるか？
• RQ2 アーベル型隠れ部分群問題において、共役類上で関数が一意である必要がない場合でも、有限生成アーベル群上で効率的な量子解法が可能か？
• RQ3 実数上での隠れ巡回部分群問題を解けるか？ もしそうなら、区分的連続関数の周期ビットを効率的に生成できるか？
• RQ4 複雑さクラスの所属という観点から、実数上での周期発見が整数上よりも厳密に難しいか？
• RQ5 実周期隠れ部分群問題は複雑さクラス $MA$ の外にあるか？ その分離の形式的根拠は何か？

主な発見

• 固有値推定と制御回転ゲートを基盤として、深さとサイズを短縮した $\mathbb{Z}_{2^n}$ 上の改善された並列量子回路を構築した。
• フーリエサンプリングと位相推定を用いて、誤差を有界に保ち、多項式的深さとサイズを達成した任意の $\mathbb{Z}_N$ 上の近似QFTを開発した。
• 関数が共役類上で一意である必要がないという緩和されたアーベル型隠れ部分群問題は、すべての有限生成アーベル群に対して効率的な量子解法を有する。
• 実数上での周期発見が整数上よりも厳密に難しいことが示され、$MA$ の外にあることが判明した。$MA$ は整数上での周期発見問題を含む。
• 幾何級数と行列の再インデックス化を用いて、QFT近似における主要な行列の作用素ノルムを境界づけ、その境界は一様ベクトルの場合と最大で4倍の差に留まる。
• 近似フーリエ基底状態間の忠実度が $\mathcal{O}(RN/M)$ のオーダーで減少することを示し、制御された条件下で近似QFT状態が真の状態に近いまま保たれることを証明した。