[論文レビュー] The Quantum Hall Fluid and Non-Commutative Chern Simons Theory

Lawrence Susskind|ArXiv.org|Jan 4, 2001

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 5被引用数 215

ひとこと要約

本稿では、填埋率 $\nu = 1/n$ における分数量子ホール効果が、レベル $n$ のアーベル的非可換チェーン＝シモンズ理論によって正確に記述されると提案している。流体の密度および電流場が非可換ゲージ場に写像される。ゲージ不変な定式化を通じてラウフリン理論と等価であることが確立され、D0ブレインの力学に類似した行列模型として理論が定式化され、より高い填埋率における非アーベル的一般化が示唆されている。

ABSTRACT

The first part of this paper is a review of the author's work with S. Bahcall which gave an elementary derivation of the Chern Simons description of the Quantum Hall effect for filling fraction $1/n$. The notation has been modernized to conform with standard gauge theory conventions. In the second part arguments are given to support the claim that abelian non-commutative Chern Simons theory at level $n$ is exactly equivalent to the Laughlin theory at filling fraction $1/n$. The theory may also be formulated as a matrix theory similar to that describing D0-branes in string theory. Finally it can also be thought of as the quantum theory of mappings between two non-commutative spaces, the first being the target space and the second being the base space.

研究の動機と目的

• 量子ホール流体と非可換チェーン＝シモンズ理論との間の厳密な接続を確立すること。
• 従来のチェーン＝シモンズ理論における定量的不一致を、非可換ゲージ理論フレームワークに発展させることで解決すること。
• 非可換理論が任意粒子統計および量子化されたホール伝導度を正しく捉えていることを示すこと。
• 量子ホール系を、弦理論におけるD0ブレインの力学に類似した行列模型として定式化すること。
• 非アーベル的非可換チェーン＝シモンズ理論を用いて、より高い填埋率に一般化すること。

提案手法

• 流体の物質的点を記述する共動座標 $y_i$ を用いる。位置場として $x_i(y,t)$ を導入する。
• $y$-平面における面積保存的微分同相写像に関して不変なラグランジアンを導出し、ネーターの定理により保存電流を得る。
• 非可換幾何学を $[x_1, x_2] = i\theta$ を用いて導入する。ここで $\theta$ は磁束量子長に関連する。
• 非可換代数を表す調和振動子演算子 $a, a^\dagger$ および $b, b^\dagger$ を用いた行列模型を構築する。
• ゲージ固定を保証するため、一般化されたクーロンゲージ条件 $\sum_i [x_i, y_i]_m = 0$ を課す。
• 非可換チェーン＝シモンズ理論の古典解が、$\nu = 1/n$ におけるラウフリン基底状態と一致することを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 填埋率 $\nu = 1/n$ における分数量子ホール効果は、非可換チェーン＝シモンズ理論によって正確に記述可能か？
• RQ2 非可換幾何学は、標準的チェーン＝シモンズ理論とラウフリン理論との間の定量的不一致をどのように解消するか？
• RQ3 量子ホール流体の行列模型定式化とは何か？ そして、それはD0ブレインの力学とどのように関係するか？
• RQ4 非可換チェーン＝シモンズ理論は、励起粒子の任意粒子統計および量子化されたホール伝導度を記述可能か？
• RQ5 より高い填埋率 $\nu = p/n$ に対して、理論は非アーベル的非可換チェーン＝シモンズ理論にどのように一般化できるか？

主な発見

• レベル $n$ のアーベル的非可換チェーン＝シモンズ理論は、填埋率 $\nu = 1/n$ におけるラウフリン理論と正確に等価である。
• 流体の密度および電流は非可換ゲージ場によって記述され、強磁場に起因する非可換性 $[x_1, x_2] = i\theta$ が生じる。
• 調和振動子演算子を用いて、一般化されたクーロンゲージ条件を満たす非可換チェーン＝シモンズ理論の古典解が構成された。
• 行列模型定式化は正しい統計および量子化されたホール伝導度を再現し、励起粒子の任意粒子的性質を確認した。
• 低填埋率において、面積保存的微分同相写像の対称性の自発的破れに起因する、量子ホール流体とウィグナー結晶の相転移が予測された。
• $\nu = p/n$ に対して、ゲージ群 $U(p)$ およびレベル $n$ の非アーベル的非可換チェーン＝シモンズ理論に一般化され、Dブレインに類似た記述が示唆された。