[論文レビュー] The quantum Ising chain for beginners

Glen Bigan Mbeng, Angelo Russomanno+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2020

Quantum many-body systems参考文献 23被引用数 37

ひとこと要約

ノートはジョーダン-ワigner変換とフェルミオン/BCS形式を用いて、基底状態・励起・ダイナミクス・絡み合いを扱う量子Ising鎖を学ぶための教育的ツールキットを提示する。無秩序な場合や境界条件、相関と熱平均の実用的計算にも言及する。

ABSTRACT

We present here various techniques to work with clean and disordered quantum Ising chains, for the benefit of students and non-experts. Starting from the Jordan-Wigner transformation, which maps spin-1/2 systems into fermionic ones, we review some of the basic approaches to deal with the superconducting correlations that naturally emerge in this context. In particular, we analyse the form of the ground state and excitations of the model, relating them to the symmetry-breaking physics, and illustrate aspects connected to calculating dynamical quantities, thermal averages, correlation functions and entanglement entropy. A few problems provide simple applications of the techniques.

研究の動機と目的

• ジョーダン-ワigner変換を導入し、スピンをフェルミオンへ写像して1D量子Ising鎖を設定する。
• 均一および無秩序な場合を含むフェルミオン表現（BCS風）を境界条件とパリティ区分と共に構築する。
• 基底状態・励起・ダイナミクスのための時間不変および時間依存のボゴリューボフ-デ・ガネ方程式を導出し解く。
• この枠組みでダイナミクス量、熱平均、スピン-スピン相関をどのように計算するかを説明する。
• 鎖のエンタングルメントエントロピーと縮約密度行列スペクトルを議論する。

提案手法

• ジョーダン-ワigner変換（非局所的なストリング演算子を含む）を用いてスピンをフェルミオンへ写像し、二次的フェルミオンハミルトニアンを得る。
• ボゴリューボフ-デ・ガネ法を用いてフェルミオンハミルトニアンを対角化し、周期境界条件下で偶奇フェルミオンパリティ区分を分離する。
• 運動量空間へ変換してハミルトニアンをボゴリーボフ形に表現し、基底状態と励起状態の構造を得る。
• 時間依存ボゴリューボフ-デ・ガネ方程式を用いた時間発展を扱い、ダイナミクスと時間依存期待値を計算する。
• 異なるFock状態間のオーバーラップ、熱平均、スピン-スピン相関、縮約密度行列を介したエンタングルメントを計算する。
• 境界条件のニュアンス（開合集 vs 周期、パリティ由来のABC/PBC）に対処し、開鎖におけるマヨラナフェルミオンを議論する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジョーダン-ワイナーを介して1D量子Ising鎖をフェルミオン言語へ再定式化する方法と得られる二次ハミルトニアンは何か。
• RQ2 均一および無秩序なIsingモデルにおける基底状態と励起はどう構造され、境界条件はそれらにどのように影響するか。
• RQ3 フェルミオン/BCS枠組みで動的量、熱平均、相関関数をどのように計算できるか。
• RQ4 スペクトルと相の構造におけるフェルミオンパリティとZ2対称性の役割は何か。
• RQ5 縮約密度行列スペクトルからエンタングルメントエントロピーを本モデルでどのように抽出できるか。

主な発見

• ジョーダン-ワイナー変換はスピン1/2鎖を二次的フェルミオン（またはハードコアボース）ハミルトニアンへ写像し、多くの場合で正確な対角化に適している。
• 均一および無秩序な鎖ではボゴリューボフ-デ・ガネ形式が基底状態と励起を与え、境界条件はパリティ区分と許容されるk値を決定する。
• 時間依存ハミルトニアンの下での時間発展は時間依存ボゴリューボフ-デ・ガネ方程式を介して扱え、時間依存の観測量を計算できる。
• この枠組みはフェルミオン表現内で熱平均とスピン-スピン相関関数の計算を可能にする。
• ノートはBCS様の基底状態を得る方法を概説し、縮約密度行列スペクトルを通じたエンタングルメントエントロピーを議論する。
• パリティ（Z2）対称性とそれに伴う境界条件の効果（ABC vs PBC）は重要な役割を果たし、開境界下のマヨラナ-フェルミオンの考慮を含む。