[論文レビュー] The quantum low-rank approximation problem

Nic Ezzell, Zoë Holmes+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2022

Sparse and Compressive Sensing Techniques被引用数 4

ひとこと要約

この論文は密度行列に対する量子低ランク近似問題（QLRAP）を定式化し、与えられた状態 $\rho$ に対してヒルベルト＝シュミット距離またはトレース距離を最小化する最適な低ランク量子状態 $\sigma$ を求める。ヒルベルト＝シュミット距離では、一意な最適解 $\sigma^* = \tau_R + N_R$ が得られ、$\tau_R$ は $\rho$ をその $R$ 個の主要成分に射影したものであり、変分最適化により近い未来の量子コンピュータ上で信頼性のある主成分分析（PCA）を可能にする。

ABSTRACT

We consider a quantum version of the famous low-rank approximation problem. Specifically, we consider the distance $D(ρ,σ)$ between two normalized quantum states, $ρ$ and $σ$, where the rank of $σ$ is constrained to be at most $R$. For both the trace distance and Hilbert-Schmidt distance, we analytically solve for the optimal state $σ$ that minimizes this distance. For the Hilbert-Schmidt distance, the unique optimal state is $σ= τ_R +N_R$, where $τ_R = Π_R ρΠ_R$ is given by projecting $ρ$ onto its $R$ principal components with projector $Π_R$, and $N_R$ is a normalization factor given by $N_R = \frac{1- ext{Tr}(τ_R)}{R}Π_R$. For the trace distance, this state is also optimal but not uniquely optimal, and we provide the full set of states that are optimal. We briefly discuss how our results have application for performing principal component analysis (PCA) via variational optimization on quantum computers.

研究の動機と目的

• 目標となる量子状態 $\rho$ とランク制約 $\rank(\sigma) \leq R$ を満たす低ランク状態 $\sigma$ 間の距離を最小化する形で、量子低ランク近似問題（QLRAP）を形式化すること。
• ヒルベルト＝シュミット距離とトレース距離の2つの距離測度の下での最適解を分析すること。
• 量子主成分分析（PCA）に適した物理的に意味のある一意な解を提供する距離測度を特定すること。
• 変分量子アルゴリズムによるPCAを可能にするために、主成分を信頼性高く抽出できるコスト関数を同定すること。

提案手法

• 距離を最小化する形でQLRAPを定式化：$D_{HS}(\rho, \sigma) = \|\rho - \sigma\|_F^2$ または $D_{\operatorname{tr}}(\rho, \sigma) = \|\rho - \sigma\|_1$ であり、$\rank(\sigma) \leq R$ を満たす。
• スペクトル分解を用いて最適な $\sigma^*$ を解析的に導出：$\sigma^* = \tau_R + N_R$ で、$\tau_R = \Pi_R \rho \Pi_R$ および $N_R = \frac{1 - \Tr(\tau_R)}{R} \Pi_R$。
• ヒルベルト＝シュミット距離の解は一意的で固有値の順序を保ち、トレース距離の解は退化しており、順序を保つとは限らないことを示す。
• 変分量子アルゴリズムにおいて主成分を最適化で抽出できるように、ヒルベルト＝シュミット距離をコスト関数として提案する。
• 破壊的SWAPテストを用いて、$\Tr(\rho^2)$、$\Tr(\sigma^2)$、$\Tr(\rho\sigma)$ を量子ハードウェア上で効率的に推定する。
• 最適化後に主成分を抽出できるように、$\sigma$ の純粋化を準備する変分回路、または古典的ランダムネスを用いて固有ベクトルを準備する回路を設計する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた密度行列 $\rho$ に対して、ランク制約 $\rank(\sigma) \leq R$ の下でヒルベルト＝シュミット距離を最小化する最適な低ランク量子状態 $\sigma$ は何か？
• RQ2 ヒルベルト＝シュミット距離ではなくトレース距離を用いた場合、量子低ランク近似問題の解はどのように異なるか？
• RQ3 ヒルベルト＝シュミット距離は、量子主成分分析（PCA）の変分量子アルゴリズムにおける信頼性のあるコスト関数として使用可能か？
• RQ4 最適解は元の状態 $\rho$ の固有値の順序を保っているか？これはPCAにおいてなぜ重要なのか？
• RQ5 トレース距離の場合の解の退化が、量子データ圧縮および量子機械学習に与える影響は何か？

主な発見

• ヒルベルト＝シュミット距離を最小化する最適状態は、一意に $\sigma^* = \tau_R + N_R$ で与えられ、$\tau_R = \Pi_R \rho \Pi_R$ は $\rho$ をその $R$ 個の最大固有モードに射影したものである。
• ヒルベルト＝シュミット解は $\rho$ の固有値の順序を保ち、主成分の正しく特定を保証する。
• トレース距離の解は一意ではなく、最小距離を達成する退化した状態の族が存在し、固有値の順序が保たれない可能性がある。
• 一意的で順序付けられた解を提供し、量子推定が効率的であるため、ヒルベルト＝シュミット距離はトレース距離よりも量子PCAに適している。
• 最適状態 $\sigma^*$ は、$D_{HS}(\rho, \sigma)$ を基礎とするコスト関数を用いて、近い未来の量子ハードウェアで変分的に準備可能であり、リソース効率の良いPCAを実現できる。
• この解は、高ランクの $\rho$ を低ランクの $\sigma^*$ で近似することで、量子状態の効率的圧縮を可能にし、キュービットおよび回路リソースの要件を削減する。