[論文レビュー] The quantum measurement process: an exactly solvable model

A. E. Allahverdyan, R. Balian+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2003

Quantum Mechanics and Applications参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、量子測定と古典的測定プロセスを統合する厳密に解ける量子測定モデルを提示する。波動関数の収束が二段階に分けられることを示している：まず、系-計器の結合による急激なユニタリー発展（時間スケール $1/\sqrt{N}$）が生じ、その後、熱的バスタイムスケール $\tau_{\rm reg} \gg \hbar/T$ でのデコherenceが生じ、古典的対角密度行列が得られる。主な貢献は、統計的解釈に整合する波動関数収束の動的導出であり、これにより多数の代替解釈が除外される。

ABSTRACT

An exactly solvable model for a quantum measurement is discussed, that integrates quantum measurements with classical measurements. The z-component of a spin-1/2 test spin is measured with an apparatus, that itself consists of magnet of N spin-1/2 particles, coupled to a bath. The initial state of the magnet is a metastable paramagnet, while the bath starts in a thermal, gibbsian state. Conditions are such that the act of measurement drives the magnet in the up or down ferromagnetic state, according to the sign of s_z of the test spin. The quantum measurement goes in two steps. On a timescale 1/\sqrt{N} the collapse takes place due to a unitary evolution of test spin and apparatus spins; on a larger but still short timescale this collapse is made definite by the bath. Then the system is in a `classical' state, having a diagonal density matrix. The registration of that state is basically a classical process, that can already be understood from classical statistical mechanics.

研究の動機と目的

• 量子力学における基礎的測定問題を解消し、量子的および古典的測定を動的かつ統一的に記述すること。
• 波動関数の収束が、事前に収束を仮定せずに、量子系と巨視的計器、および熱的バストの相互作用から自然に生じることを示すこと。
• 計器の最終状態が古典的対角密度行列であること、したがって登録が古典的統計的プロセスであることの証明。
• 多世界解釈、ドレイバー力学、および自発的収束モデルなどの代替解釈を検証し、除外すること。
• 純粋状態を個々の系に要請せずとも、統計的解釈が測定結果を十分に記述できることを確立すること。

提案手法

• モデルは、スピン1/2のテスト系を、$-g s_z \sum \sigma_z^{(n)}$ の相互作用ハミルトニアンで $N$ 個のスピン1/2粒子からなる磁性体と結合する。
• 磁性体は、第一相転移を引き起こす四次相互作用 $H_M = -\frac{J}{4N^3} \sum_{ijkl} \sigma_z^{(i)}\sigma_z^{(j)}\sigma_z^{(k)}\sigma_z^{(l)}$ でモデル化される。
• 計器は、$T < T_c$ の下で、磁化 $m=0$ の力学的不安定なパラ磁性状態に初期化され、自由エネルギーの障壁が磁化を抑制する。
• $t=0$ で結合定数 $g$ がオンになり、$s_z = \pm 1$ の場合に自由エネルギー障壁が抑制され、磁性体が $m = \pm m_c$ に駆動される。
• 初期にギブズ状態にあったバストが、より長い時間スケール $\tau_{\rm reg}$ でデコherenceを誘発し、最終状態が指標基底で対角になる。
• 最終状態は統計混合状態である：$D(t_f) = p_\uparrow |\uparrow\rangle\langle\uparrow| \otimes \rho_\uparrow^{(1)} \otimes \cdots \otimes \rho_\uparrow^{(N)} + p_\downarrow |\downarrow\rangle\langle\downarrow| \otimes \rho_\downarrow^{(1)} \otimes \cdots \otimes \rho_\downarrow^{(N)}$、ここで $\rho_\uparrow^{(n)} = \frac{1}{2} \text{diag}(1+m_\uparrow, 1-m_\uparrow)$。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 波動関数の収束を仮定せず、動的記述で量子測定プロセスをどのように記述できるか？
• RQ2 計器およびそのバストとの結合が、明確な測定結果を達成するために果たす役割は何か？
• RQ3 量子重ね合わせから古典的明確な結果への遷移が、ユニタリー発展とデコherenceから導けるか？
• RQ4 統計的解釈が測定を記述するのに十分か、あるいは追加の仮定（例：自発的収束）が必要か？
• RQ5 このモデルの力学と矛盾する量子力学の解釈は何か？

主な発見

• 波動関数の収束は時間スケール $\tau_{\rm collapse} \sim 1/\sqrt{N}$ で発生し、$N$ が大きい場合には非常に短くなる。これはフォン・ノイマンの公理と整合的である。
• 時間スケール $\tau_{\rm reg} \gg \hbar/T$ でのバスト誘発デコherenceが、系を対角密度行列に安定化させ、結果として古典的かつ不可逆的になる。
• $s_z = +1$ の場合、$g > g_c \approx 0.09035\,J$ ならば、$m \approx 0.7$ の近傍で自由エネルギー障壁が抑制され、磁性体が $m = m_\uparrow$ 状態に駆動される。
• 最終状態は、確率 $p_\uparrow$ および $p_\downarrow$ の指標状態の統計混合状態であり、量子力学の統計的解釈と整合的である。
• モデルは、多世界解釈、心身の収束、または自発的局在化を含む解釈を除外する。これらのメカニズムは必要とされない。
• 計器は $m = \pm m_c$ の安定な熱力学的状態に達し、観測されたかどうかにかかわらず、結果は不変である。