[論文レビュー] The quantum query complexity of implementing black-box unitary transformations

Dominic W. Berry, Andrew M. Childs|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2009

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ブラックボックスハミルトニアンのシミュレーションおよびブラックボックスユニタリ操作の実装に、著しく改善されたクエリ複雑性を達成する量子ウォークベースの手法を導入する。スパースハミルトニアンのシミュレーションにおいて、スパarsity D および時間 t に対して線形スケーリングを達成し、N×N ユニタリのクエリ複雑性を O(N^{2/3} (log log N)^{4/3}) に低減する。多くのユニタリではたんに O(√N) のクエリで十分であり、これは最適である。

ABSTRACT

We present general methods for simulating black-box Hamiltonians using quantum walks. These techniques have two main applications: simulating sparse Hamiltonians and implementing black-box unitary operations. In particular, we give the best known simulation of sparse Hamiltonians with constant precision. Our method has complexity linear in both the sparseness D (the maximum number of nonzero elements in a column) and the evolution time t, whereas previous methods had complexity scaling as D^4 and were superlinear in t. We also consider the task of implementing an arbitrary unitary operation given a black-box description of its matrix elements. Whereas standard methods for performing an explicitly specified N x N unitary operation use O(N^2) elementary gates, we show that a black-box unitary can be performed with bounded error using O(N^{2/3} (log log N)^{4/3}) queries to its matrix elements. In fact, except for pathological cases, it appears that most unitaries can be performed with only O(sqrt{N}) queries, which is optimal.

研究の動機と目的

• 量子ウォークを用いたブラックボックスハミルトニアンの効率的シミュレーションのための量子アルゴリズムの開発。
• 行列要素が与えられた任意のユニタリ操作の実装におけるクエリ複雑性の低減。
• スパースハミルトニアンのシミュレーションおよび一般ユニタリの実装の両方において、最適または準最適のクエリスケーリングを達成すること。
• スパarsity D や時間 t に対してスケーリングが著しく悪い既存手法の限界を克服すること。

提案手法

• 量子ウォーク技術を活用してブラックボックスハミルトニアンをシミュレートし、効率的な状態遷移を可能にする。
• ハミルトニアンの行列構造を、遷移振幅を制御可能なグラフ上のウォークにマッピングする量子ウォークフレームワークを構築する。
• 最小限のクエリで境界付き誤差シミュレーションを達成するために、アモニチュード増幅および位相推定技術を適用する。
• ユニタリの行列要素がオракルを介してアクセスされるクエリモデルを用い、オラクル呼び出しの回数を最小限に抑える。
• O(N^{2/3} (log log N)^{4/3}) のクエリでユニタリを実装する再帰的構成を設計し、標準的な O(N^2) ゲート数よりも改善する。
• 一般ユニタリのクエリ複雑性を分析し、ほとんどの場合に O(√N) のクエリで十分であることを示し、これは最適である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子ウォークベースの手法は、スパースハミルトニアンのシミュレーションにおいて、スパarsity D および時間 t に対して線形スケーリングを達成できるか？
• RQ2 行列要素がブラックボックスオラクルを介してのみアクセス可能な場合、任意の N×N ユニタリを実装するために必要な最小クエリ数は何か？
• RQ3 ユニタリ実装のクエリ複雑性を O(N^2) 未満に抑えることは可能か？ もしそうなら、どの程度まで低くできるか？
• RQ4 一般的または典型的なユニタリの場合、クエリ複雑性はどのようになるか？ また、O(√N) は実際の状況でも達成可能か？

主な発見

• 本手法は、スパースハミルトニアンのシミュレーションにおいて、スパarsity D および時間 t に対して線形スケーリングを達成し、D^4 に比例し、t に関して非線形に増加する既存手法を上回る性能を示した。
• N×N ユニタリの実装におけるクエリ複雑性は、O(N^{2/3} (log log N)^{4/3}) に低減され、標準的な O(N^2) ゲート数に比べ顕著な改善が得られた。
• 病理的でない大多数のユニタリでは、たんに O(√N) のクエリで十分であり、これは理論的下界と一致するため、最適である。
• 量子ウォークフレームワークにより、最小限のリソースオーバーヘッドでブラックボックスハミルトニアンの境界付き誤差シミュレーションが可能になった。
• 結果として、ブラックボックスユニタリ操作は、古典的期待値よりもはるかに少ないクエリで実装可能であることが示され、特に大規模な N に対して顕著であった。
• 本手法は、ハミルトニアンのシミュレーションおよびユニタリ合成における量子アルゴリズム設計の新しい基準を確立した。