[論文レビュー] The Quantum Theil Index: Characterizing Graph Centralization using von Neumann Entropy

David E. Simmons, Justin P. Coon+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2017

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ひとこと要約

本稿では、グラフの中心化を測定するために用いられるTheil指数を、グラフのトレース正規化された組合せラプラシアンのvon Neumannエントロピーによって上界で制限する、新しい測度「von Neumann Theil指数」を導入する。この手法により、従来の測度よりも構造的変化に敏感な、エントロピーに基づくマクロスコピックなグラフ中心化の特徴付けが可能になる。

ABSTRACT

We show that the von Neumann entropy (from herein referred to as the von Neumann index) of a graph's trace normalized combinatorial Laplacian provides structural information about the level of centralization across a graph. This is done by considering the Theil index, which is an established statistical measure used to determine levels of inequality across a system of `agents', e.g., income levels across a population. Here, we establish a Theil index for graphs, which provides us with a macroscopic measure of graph centralization. Concretely, we show that the von Neumann index can be used to bound the graph's Theil index, and thus we provide a direct characterization of graph centralization via the von Neumann index. Because of the algebraic similarities between the bound and the Theil index, we call the bound the von Neumann Theil index. %From an information theoretic perspective, the von Neumann Theil index describes the mutual information between the quantum state corresponding to a graph and the maximally mixed state (which corresponds to the complete graph). We elucidate our ideas by providing examples and a discussion of different $n=7$ vertex graphs. We also discuss how the von Neumann Theil index provides a more comprehensive measure of centralization when compared to traditional centralization measures, and when compared to the graph's classical Theil index. This is because it more accurately accounts for macro-structural changes that occur from micro-structural changes in the graph (e.g., the removal of a vertex). Finally, we provide future direction, showing that the von Neumann Theil index can be generalized by considering the Rényi entropy. We then show that this generalization can be used to bound the negative logarithm of the graph's Jain fairness index.

研究の動機と目的

• グラフのラプラシアンのvon Neumannエントロピーと、不平等性の標準的測度であるTheil指数との間の関係を確立すること。
• 従来の中心性指標よりも微視的構造的変化に反応しやすい、新しいマクロスコピックなグラフ中心化測度を構築すること。
• von Neumann指数がグラフのTheil指数を上界で制限できることを示し、「von Neumann Theil指数」の定義を導くこと。
• Rényiエントロピーを用いてこのアプローチを一般化し、Jain指数のような公平性指標との関係を示すこと。
• 量子情報理論的概念を統合することで、複雑ネットワークにおけるマクロ構造的性質（中心化など）のより包括的かつ強固な特徴付けを提供すること。

提案手法

• n頂点グラフにおける相対的次数分布を定義し、各頂点に次数に比例する重みを割り当てる。
• この分布を用いてグラフのTheil指数を構築し、頂点次数の不平等性（中心化として解釈）を測定する。
• トレース正規化された組合せラプラシアンのvon Neumannエントロピーを、グラフのTheil指数の上界として用いる。
• von Neumann Theil指数を $ T_Q(G) = \log n - H(G) $ として定義する。ここで $ H(G) $ は正規化ラプラシアンのvon Neumannエントロピーである。
• Rényiエントロピーの位数 $ p $ を用いて指数を一般化し、$ T_Q^{(p)}(G) = \log n - H^{(p)}(G) $ を定義する。ここで $ H^{(p)} $ は正規化ラプラシアンのRényi-pエントロピーである。
• $ T_Q^{(2)}(G) \geq -\log \mathcal{J}(d_1, \dots, d_n) $ を証明し、一般化された指数がJain公平性指数と関連することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフの正規化ラプラシアンのvon Neumannエントロピーが、そのグラフのTheil指数を上界で制限できるか。これにより中心化が定量的に測定可能になるか。
• RQ2 頂点の削除やエッジの変更に起因する構造的変化を捉える際、von Neumann Theil指数は古典的中心化測度と比較してどのように異なるか。
• RQ3 von Neumann Theil指数はRényiエントロピーを用いて一般化可能か。その結果得られる指標は、Jain指数のような公平性指標とどのような関係にあるか。
• RQ4 古典的Theil指数と比較して、von Neumann Theil指数はグラフ中心化のより正確で包括的な測定を提供するか。
• RQ5 量子情報理論的概念は、複雑ネットワークにおけるマクロ構造的性質（中心化など）を特徴付ける上で果たす役割は何か。

主な発見

• グラフのトレース正規化された組合せラプラシアンのvon Neumann指数が、そのグラフのTheil指数の上界を提供する。これにより、中心化の新たな測度が可能になる。
• 得られた上界は「von Neumann Theil指数」として命名され、$ T_Q(G) = \log n - H(G) $ として定義される。ここで $ H(G) $ は正規化ラプラシアンのvon Neumannエントロピーである。
• von Neumann Theil指数は、頂点の削除などの微視的構造的変化に対して、従来の中心化測度よりも感受性が高く、より包括的な特徴付けを可能にする。
• Rényiエントロピーの位数 $ p $ を用いた一般化されたvon Neumann Theil指数 $ T_Q^{(p)}(G) $ は、$ p $ に関して単調増加であり、$ T_Q(G) = \lim_{p \to 1} T_Q^{(p)}(G) $ を満たす。
• $ p = 2 $ の場合、一般化された指数は $ T_Q^{(2)}(G) \geq -\log \mathcal{J}(d_1, \dots, d_n) $ を満たし、Jain公平性指数と関連づけられ、ネットワークリソース配分における公平性への関連性が裏付けられる。
• $ n = 7 $ 頂点のグラフを用いた実験により、von Neumann Theil指数がグラフの中心化度に応じて一貫して順序付けを行うことが示され、その実証的妥当性が確認された。