[論文レビュー] The quartic integrability and long time existence of steep water waves in 2D

Sijue Wu|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2020

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 36被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、任意の初期の傾きと速度を許容する2次元無限深さの水波の長時間存在を、物理空間における明示的なエネルギー関数の構成により確立する。これらのエネルギー関数は4次的に保存され、スケーリング不変および高正則性ノルムが$O(\varepsilon)$のとき、寿命の推定値は$O(\varepsilon^{-3})$、スケーリング不変ノルムのみが$O(\varepsilon)$のとき、$O(\varepsilon^{-5/2})$となる。波の傾きや速度の大きさに小刻みの仮定を必要としない。

ABSTRACT

It is known since the work of Dyachenko \& Zakharov \cite{zd} that for the weakly nonlinear 2d infinite depth water waves, there are no 3-wave interactions and all of the 4-wave interaction coefficients vanish on the non-trivial resonant manifold. In this paper we study this partial integrability from a different point of view. We construct, directly in the physical space, a sequence of energy functionals $\mathfrak E_j(t)$ which are explicit in the Riemann mapping variable and involve material derivatives of order $j$ of the solutions for the 2d water wave equation, so that $\frac d{dt} \mathfrak E_j(t)$ is quintic or higher order. We show that if some scaling invariant norm, and a norm involving one spatial derivative above the scaling of the initial data are of size no more than $\varepsilon$, then the lifespan of the solution for the 2d water wave equation is at least of order $O(\varepsilon^{-3})$, and the solution remains as regular as the initial data during this time. If only the scaling invariant norm of the data is of size $\varepsilon$, then the lifespan of the solution is at least of order $O(\varepsilon^{-5/2})$. Our long time existence results do not impose size restrictions on the slope of the initial interface and the magnitude of the initial velocity, they allow the interface to have arbitrary large steepnesses and initial velocities to have arbitrary large magnitudes.

研究の動機と目的

• 初期の傾きや速度の大きさに小刻みの仮定を置かずに、2次元無限深さ水波の長時間存在を確立すること。
• 系の背後にある部分的可積分性を反映する、物理空間における4次的に保存されるエネルギー関数の構成を提供すること。
• 再スケーリング依存の仮定を避けるために、スケーリング不変ノルムのみに依存する寿命推定を導出すること。
• 物理領域における高次エネルギー制御の直接的構成により、水波における可積分性の理解を拡張すること。

提案手法

• 解の各階層の物質的微分の順序$j$を含むリーマン写像変数におけるエネルギー関数の系列$\mathfrak{E}_j(t)$を構築する。
• $\frac{d}{dt}\mathfrak{E}_j(t)$が5次以上であることを示し、エネルギーの緩やかな増加を示す。
• 物理空間におけるノーマルフォーム型の議論を用いて、2次非線形項を除去し、高次相互作用を制御する。
• $Z_{\alpha'}$, $D_t$, $A_1$, $b$, $\mathcal{P}$を含む推移的推定の階層を用いて、主要な幾何的および力学的量をバインドする。
• 複素座標$\alpha'$と物質的微分$D_t$を用いた物理空間における水波系の分解に依存する。
• 物理空間における$\varepsilon$と初期データの大きさに依存する、幾何的および力学的量の$L^2$, $\dot{H}^{1/2}$, $L^\infty$ノルムの制御を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期の傾きや速度に小刻みの仮定を置かずに、2次元水波の長時間存在を確立できるか？
• RQ2 ハミルトニアン形式における3波および4波の共鳴相互作用の不在は、物理空間におけるエネルギー構造が長時間制御を可能にするものか？
• RQ3 再スケーリングに依存しない仮定を避けて、スケーリング不変ノルムのみに依存する寿命推定を導出できるか？
• RQ4 物理空間において明示的で、5次までの項まで保存される高次エネルギー関数を構成できるか？
• RQ5 初期界面の傾きが任意であっても、解が$O(\varepsilon^{-3})$の時間にわたり正則のままでいられるか？

主な発見

• スケーリング不変ノルムと、スケーリングより1階数高い空間微分を含むノルムが両方$O(\varepsilon)$のとき、解の寿命は少なくとも$O(\varepsilon^{-3})$である。
• スケーリング不変ノルムのみが$O(\varepsilon)$のとき、高正則性ノルムの小刻みさを要件としない限り、解の寿命は少なくとも$O(\varepsilon^{-5/2})$である。
• 構築されたエネルギー関数$\mathfrak{E}_j(t)$はリーマン写像変数において明示的であり、順序$j$の物質的微分を含み、時間微分が5次以上である。
• 初期界面の傾きが任意であっても、解は寿命中、初期データと同等の正則性を保つ。
• $\left\|\partial_{\alpha'} \frac{1}{Z_{,{\alpha^\prime}}}\right\|_{L^2}$や$\left\|Z_{t,{\alpha^\prime}}\right\|_{\dot{H}^{1/2}}$などの量は、$\varepsilon$または他の項との積で$\varepsilon$倍に制御される。
• 再スケーリング依存の仮定を避け、波の傾きや初期速度の小刻みさを要件としない、物理空間における直接的証明により長時間存在を確立する。