[論文レビュー] The quasi-Hopf analogue of $u_q(sl_2)$

Gongxiang Liu|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、一般化されたTaft代数の一般化である quasi-Hopf 代数 $A(n,s,q)$ の Drinfeld double として、Lusztig の小量子群 $\mathbf{u}_q(\mathfrak{sl}_2)$ の quasi-Hopf 同型体 $\operatorname{Q}_s\mathbf{u}_q(\mathfrak{sl}_2)$ を構成する。主な結果として、$n$ が偶数で $s$ が奇数のとき、この double はいかなる Hopf 代数とも twist 同値でなく、$\mathbf{u}_q(\mathfrak{sl}_2)$ とは異なる本質的な非半単純な quasitriangular な quasi-Hopf 代数であることが示された。

ABSTRACT

In [4], some quasi-Hopf algebras of dimension $n^{3}$, which can be understood as the quasi-Hopf analogues of Taft algebras, are constructed. Moreover, the quasi-Hopf analogues of generalized Taft algebras are considered in [7], where the language of the dual of a quasi-Hopf algebra is used. The Drinfeld doubles of such quasi-Hopf algebras are computed in this paper. The authors in [5] shew that the Drinfeld double of a quasi-Hopf algebra of dimension $n^{3}$ constructed in [4] is always twist equivalent to Lusztig's small quantum group $u_q(sl_2)$ if $n$ is odd. Based on computations and analysis, we show that this is \emph{not} the case if $n$ is even. That is, the quasi-Hopf analogue $Qu_q(sl_2)$ of $u_q(sl_2)$ is gotten.

研究の動機と目的

• 一般化された Taft 代数の quasi-Hopf 同型体である quasi-Hopf 代数 $A(n,s,q)$ の Drinfeld double を用いて、Lusztig の小量子群 $\mathbf{u}_q(\mathfrak{sl}_2)$ の quasi-Hopf 同型体を構成すること。
• 一般化された Taft 代数の quasi-Hopf 同型体の Drinfeld double が、Hopf 代数と twist 同値であるかどうかを特定すること。
• 得られる quasi-Hopf 代数が本質的に Hopf 代数でない、すなわちいかなる Hopf 代数とも twist 同値ではない条件を同定すること。
• $\mathbf{u}_q(\mathfrak{sl}_2)$ の非自明な一般化として、有限次元の非半単純な quasitriangular な quasi-Hopf 代数の新しいクラスを提供すること。

提案手法

• 一般化された quasi-Hopf 代数 $A(n,s,q)$ の Drinfeld double $D(A(n,s,q))$ を構成し、これは一般化された Taft 代数の quasi-Hopf 同型体である。
• 第2節で、Drinfeld double の構成を用いて、生成子と関係式により新しい quasi-Hopf 代数 $\operatorname{Q}_s\mathbf{u}_q(\mathfrak{sl}_2)$ を定義する。
• 1次元表現 $X$ を $\operatorname{Q}_s\mathbf{u}_q(\mathfrak{sl}_2)$ に定義し、その生成する部分テンソル圏 $\langle X \rangle$ が $\mathbb{Z}_{2s}$ の表現圏と同型であることを示す。
• $\langle X \rangle$ への再結合子 $\phi_s$ の制限を群コホモロジーを用いて解析し、$\mathbb{Z}_{2s}$ 上の非自明な3次コサイクルであることを示す。
• $f(g_{2s}^i, g_{2s}^j, g_{2s}^k) = (-1)^{i[\frac{j+k}{2s}]}$ が3次コバウンダリーでないことを証明し、再結合子の非自明性を示す。
• Tannaka-Krein双対性を適用し、もし $\operatorname{Q}_s\mathbf{u}_q(\mathfrak{sl}_2)$ が Hopf 代数と twist 同値であれば、再結合子は3次コバウンダリーでなければならないが、これは矛盾を引き起こす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化された Taft 代数の quasi-Hopf 同型体の Drinfeld double は、Hopf 代数と twist 同値であるか？
• RQ2 $n$ と $s$ にどのような条件を課すと、得られる quasi-Hopf 代数がいかなる Hopf 代数とも twist 同値でなくなるか？
• RQ3 $\mathbf{u}_q(\mathfrak{sl}_2)$ の本質的な quasi-Hopf 同型体を、元の Hopf 代数とは twist 同値でない形で構成できるか？
• RQ4 Drinfeld double の表現論は、quasi-Hopf 構造における再結合子の非自明性をどのように反映するか？
• RQ5 群コホモロジーは、テンソル圏の文脈で再結合子の非自明性を検出するために果たす役割は何か？

主な発見

• $D(A(n,s,q))$ は、quasi-Hopf 代数として $\operatorname{Q}_s\mathbf{u}_q(\mathfrak{sl}_2)$ に同型である。
• $n = 2^m l$ かつ $s = 2^{m'} l'$ で、$(l,2) = (l',2) = 1$ かつ $m' < m$ のとき、$D(A(n,s,q))$ はいかなる Hopf 代数とも twist 同値でない。
• 特に、$n$ が偶数で $s$ が奇数のとき、$D(A(n,s,q))$ は Hopf 代数とは twist 同値ではなく、非自明な quasi-Hopf 同型体が確立される。
• $\mathbb{Z}_{2s}$ 上の3次コサイクル $f(g_{2s}^i, g_{2s}^j, g_{2s}^k) = (-1)^{i[\frac{j+k}{2s}]}$ は3次コバウンダリーでない。これは、部分テンソル圏 $\langle X \rangle$ における再結合子の非自明性を証明する。
• $g_1 \mapsto -1$, $g_2 \mapsto (-1)^{1/s}$, $x,y \mapsto 0$ で定義される表現 $X$ は、その生成する部分テンソル圏の再結合子の障害が、非 twist 同値性を示す。
• 結果として、$n$ が偶数のとき、$\operatorname{Q}_1\mathbf{u}_q(\mathfrak{sl}_2)$ が Hopf 代数とは twist 同値でないことが確認され、非半単純な quasitriangular な quasi-Hopf 代数の新しい例が得られた。