[論文レビュー] The quasi-normal modes of quantum criticality

William Witczak‐Krempa, Subir Sachdev|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2012

Quantum chaos and dynamical systems被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、2+1次元コンformal field theory (CFT) における有限温度下の電荷輸送を、ホログラフィック手法を用いて調査している。系は、漸近的に反de Sitter時空上の有効場理論でモデル化される。準正規モード (QNMs) が複素振動数を持つことにより、導電率の解析的構造（極や零点を含む）が完全に決定され、S双対性が極と零点を相互に写像することを示している。ホログラフィック計算は、先行するボルツマン理論的手法とは異なり、両方の導電率和則を満たしており、量子臨界輸送の整合的な枠組みを提供する。

ABSTRACT

We study charge transport of quantum critical points described by conformal field theories in 2+1 spacetime dimensions. The transport is described by an effective field theory on an asymptotically anti-de Sitter spacetime, expanded to fourth order in spatial and temporal gradients. The presence of a horizon at non-zero temperatures implies that this theory has quasi-normal modes with complex frequencies. The quasi-normal modes determine the poles and zeros of the conductivity in the complex frequency plane, and so fully determine its behavior on the real frequency axis, at frequencies both smaller and larger than the absolute temperature. We describe the role of particle-vortex or S-duality on the conductivity, specifically how it maps poles to zeros and vice versa. These analyses motivate two sum rules obeyed by the quantum critical conductivity: the holographic computations are the first to satisfy both sum rules, while earlier Boltzmann-theory computations satisfy only one of them. Finally, we compare our results with the analytic structure of the O(N) model in the large-N limit, and other CFTs.

研究の動機と目的

• 準フェルミ粒子が存在しない2+1次元コンformal field theory (CFT) における有限温度下の電荷輸送を理解すること。
• ホログラフィック手法を用いて、複素周波数平面における導電率 σ(ω) の解析的構造を特定すること。
• 複素振動数を持つ準正規モード (QNMs) が導電率の極と零点をどのように支配するかを同定すること。
• 導電率において極と零点を相互に写像するS双対性の役割を検討すること。
• ホログラフィック計算が両方の導電率和則を満たすかどうかを検証すること。これは、以前のボルツマン理論的手法とは対照的である。

提案手法

• 研究は、空間的および時間的勾配の4次まで展開した、漸近的に反de Sitter時空上の有効場理論を用いる。
• 有限温度下ではブラックホールの事象の止まりが存在し、これにより複素振動数を持つ準正規モード (QNMs) が生じる。これらはゲージ場の線形化された運動方程式の解である。
• 導電率 σ(ω) は、ボディ内におけるゲージ場 A_y の波動方程式を解き、事象の止まりで流入境界条件を、境界で正則性を課すことによって計算される。
• QNMs は、ホログラフィック近縁部および無限遠点近辺での波動関数の漸近的挙動を、WKB近似およびベッセル関数近似を用いて抽出する。
• 複素周波数平面における異なる領域（近ホログラフィック領域、大 r 領域、ストークス線）をつなぐために、一致漸近展開法を用いて解をマッチングする。
• S双対性の役割は、双対性変換を導電率に施し、複素周波数平面における極と零点の相互写像を分析することで検討される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素振動数を持つ準正規モード (QNMs) は、2+1次元量子臨界系における導電率 σ(ω) の解析的構造をどのように決定するか？
• RQ2 ホログラフィックCFTにおける導電率において、S双対性が極と零点をどのように相互に写像するか？
• RQ3 なぜホログラフィック計算は両方の導電率和則を満たすのか？ 一方、以前のボルツマン理論的手法は片方の和則しか満たさないのか？
• RQ4 O(N)モデルの大N極限は、ホログラフィック結果と比較して、σ(ω) の解析的構造においてどのように異なるか？
• RQ5 QNMs の漸近的挙動は何か？ また、有効作用のパラメータにどのように依存するか？

主な発見

• ホログラフィック計算による導電率 σ(ω) は、先行するボルツマン理論的手法とは異なり、両方の導電率和則を満たしている。
• 複素振動数を持つ準正規モード (QNMs) は、複素周波数平面における σ(ω) の極と零点を完全に決定し、実軸上での挙動を規定している。
• S双対性は極と零点を相互に写像するが、この双対性はホログラフィック枠組みでも保存されており、導電率の解析的構造と整合的であることが確認された。
• QNMs の漸近的周波数は、n が大きいとき 3wx₀ = ξ − 2πn で与えられ、オフセットパラメータ ξ に対して2つの異なる解が存在し、γ が有限であれば、複素数値のギャップとオフセットが得られる。
• γ = 0 のとき、QNMs は存在せず、これは σ(ω) が定数であるという正確な結果と整合的であり、この極限では動的挙動が存在しないことを確認している。
• 有限γ領域ではQNMsスペクトルはγに依存せず、ブラックホール幾何学および近ホログラフィックポテンシャルによって支配される普遍的な漸近的構造を持つことが示された。