[論文レビュー] The quasineutral limit of compressible Navier-Stokes-Poisson system with heat conductivity and general initial data

Qiangchang Ju, Fucai Li+1 more|ArXiv.org|May 18, 2009

Navier-Stokes equation solutions参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、熱伝導性および一般（不適切な初期データ）を伴う圧縮性ナビエ＝ストークス＝ポアソン系の準中性極限を厳密に証明する。デイビー長さλが0に近づくとき、解は非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に加えて、速やかに振動する特異な勾配項に強く収束する。粘性係数μと熱伝導度κも同時に0に近づく組み合わせ極限において、系は非圧縮性エーラー方程式に収束し、明示的な収束速度が確立されている。

ABSTRACT

The quasineutral limit of compressible Navier-Stokes-Poisson system with heat conductivity and general (ill-prepared) initial data is rigorously proved in this paper. It is proved that, as the Debye length tends to zero, the solution of the compressible Navier-Stokes-Poisson system converges strongly to the strong solution of the incompressible Navier-Stokes equations plus a term of fast singular oscillating gradient vector fields. Moreover, if the Debye length, the viscosity coefficients and the heat conductivity coefficient independently go to zero, we obtain the incompressible Euler equations. In both cases the convergence rates are obtained.

研究の動機と目的

• 圧縮性ナビエ＝ストークス＝ポアソン系の準中性極限を、熱伝導性および一般（不適切な初期データ）を伴う初期データに関して厳密に確立すること。
• デイビー長さλ → 0の下で、系が非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に収束する様子を分析すること。
• 準中性極限における粘性係数と熱伝導度の両方の消滅を組み合わせた極限を調査し、非圧縮性エーラー方程式に至ることを明らかにすること。
• 両方の極限状態において明示的な収束速度を導出すること。
• 良好な初期データの仮定を超えて、一般（不適切な初期データ）を扱うこと。

提案手法

• 漸近展開とエネルギー推定を用いて、ナビエ＝ストークス＝ポアソン系の近似解を構築する。
• 形式的解析と特異摂動法を適用し、極限系と補正項を同定する。
• ソボレフ空間における固定点定理を用いて、小さなデイビー長さに対して古典解の存在と一意性を証明する。
• 剰余項およびその時間微分について、ソボレフノルムにおける一様有界性を確立する。
• アーヴェル＝アスコリの定理とソボレフ埋め込みを用いて、極限に移行し収束を証明する。
• 補間不等式とコンパクト性の議論を用いて、弱収束を適切なノルムにおいて強収束に強化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 デイビー長さλ → 0の下で、一般初期データを伴う圧縮性ナビエ＝ストークス＝ポアソン系の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ2 解は準中性極限において非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式にどのように収束するか？
• RQ3 粘性係数と熱伝導度も同時に0に近づく場合、系はどのように振る舞うか？
• RQ4 不適切な初期データを伴う準中性極限において、収束速度を明示的に定量化できるか？
• RQ5 極限系において、特異な振動勾配場が果たす役割は何か？

主な発見

• 圧縮性ナビエ＝ストークス＝ポアソン系の解は、λ → 0の下で、非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に加えて、速やかに振動する特異な勾配ベクトル場に強く収束する。
• 密度、速度、温度、電界ポテンシャル勾配に関して、ソボレフノルムにおいて収束速度がO(λ)であることが示された。
• 組み合わせ極限λ → 0、μ → 0、ν → 0、κ → 0において、系は非圧縮性エーラー方程式に収束する。
• 一般（不適切な初期データ）を伴う非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式およびエーラー方程式への収束が確立された。
• 剰余項について、ソボレフノルムにおける一様有界性が得られ、コンパクト性の議論を用いて極限に移行するための基盤が整った。
• 適切な正則性仮定の下で、小さなλに対して初期値問題に対する古典解の存在と一意性が証明された。