[論文レビュー] The quest for counterexamples in toric geometry

Winfried Bruns|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、特異的でない射影的トーリック多様体が算術的に正規であるか（N）、およびその定義イデアルが次数2で生成されるか（Q）という、2つの未解決問題に対する反例探索の実験的計算的手法を提示する。ファンから滑らかな格子多面体を生成し、そのサポート多面体を計算し、正規性および2次生成のテストを行うアルゴリズムを用いて、反例は得られなかった。これは両性質が成立している可能性を示唆するが、構成法そのものが複雑な例を避ける傾向にある可能性もある。

ABSTRACT

We discuss an experimental approach to open problems in toric geometry: are smooth projective toric varieties (i) projectively normal and (ii) defined by degree 2 equations? We discuss the creation of lattice polytopes defining smooth toric varieties as well as algorithms checking properties (i) and (ii) and further potential properties, in Particular a weaker version of (ii) asking for scheme-theoretic definition in degree 2.

研究の動機と目的

• すべての滑らかな射影的トーリック多様体が算術的に正規（N）であるか、すなわちその斉次座標環が正規であるかを調査すること。
• 滑らかな射影的トーリック多様体のイデアルが、次元≥3においても常に次数2で生成されるかを特定すること。
• 滑らかな格子多面体の性質（N）および（Q）をテストするための計算ツールを開発・適用し、最小の反例に焦点を当てる。
• 滑らかさを保ちつつ多面体を縮小するためのレジリエンスとチジリング技術の役割を調査し、非正規性または非2次生成のテストを可能にする。
• 特に単純多面体の場合に、正規でないが非常に豊富な格子多面体が（N）の反例として存在するかを調査する。

提案手法

• 双対空間 $V^*$ における滑らかなファイナーのランダム構成により滑らかな射影的トーリック多様体を生成し、その双対空間 $V = \mathbb{R}^d$ における格子多面体に写像する。
• ファイナーと格子多面体の対応関係を用いて、これらのファイナーからサポート多面体を計算し、滑らかで射影的であることを保証する。
• Hilbert基底の計算を用いて算術的正規性（N）をテストする。Normalizソフトウェアを用いることで、モノイド代数の正規性を効率的にチェックできる。
• 多面体のトーリックイデアルを分析することで2次生成（Q）をテストする。スキーム的定義の2次における組合せ的基準を用いることで、多くの格子点を持つ多面体のテストを高速化する。
• チジリングを適用する：滑らかな多面体から、特に頂点を含む格子点を段階的に削除し、滑らかさを保ちつつサイズを縮小し、最小の反例を探索する。
• 既知の正規多面体に対して縮小技術を適用し、特に低次元において非常に豊富で非正規な例を発見する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての滑らかな射影的トーリック多様体は算術的に正規であるか、すなわちその斉次座標環が正規であるか？
• RQ2 すべての滑らかな射影的トーリック多様体のイデアルは、次数2で生成されるか？
• RQ3 滑らかで非常に豊富な格子多面体が非正規であることはあり得るか、特に単純多面体の場合にそうなるか？
• RQ4 （N）または（Q）に対する最小の反例は存在するか？もしあるならば、チジリングに対してレジリエントであるか？
• RQ5 非常に豊富で非正規な格子多面体は体系的に構成可能か？また、低次元において存在するか？

主な発見

• ファイナー生成、多面体計算、性質テストのためのアルゴリズムを用いた広範な計算的探索を行ったが、（N）または（Q）に対する反例は得られなかった。
• 探索結果から、（N）および（Q）が一般に成り立つ可能性が示唆されるが、反例が得られなかったのは構成法の制限に起因する可能性もある。
• 2次におけるスキーム的定義のための組合せ的基準が開発され、格子点の多い多面体に対する効率的テストを可能にした。
• チジリングにより、（Q）または（N）に対する最小の反例は、滑らかさを損なわずに格子点を削除できない、レジリエントである必要があることが明らかになった。
• 非常に豊富で非正規な格子多面体は存在する。最初の例は次元5で発見され、縮小技術によりさらなる例が得られた。
• 単純で非常に豊富だが非正規な多面体は未発見であるが、本研究でファイナー法により生成されたすべての単純多面体は正規であった。