[論文レビュー] The Quicksort algorithm and related topics

Vasileios Iliopoulos|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2015

Algorithms and Data Compression参考文献 69被引用数 4

ひとこと要約

本学位論文は、クイックソートアルゴリズムおよびその変種について、鍵となる比較回数の分散と複数のピボットが与える影響に焦点を当てた、きめ細やかな数学的分析を提供する。生成関数と再帰的関係式を用いて、分散の正確な式を導出し、ランダムな部分順序集合における線形拡張の数を調査し、シャッターソートを用いた部分順序データの効率的ソーティングに関する、新たな境界と洞察を提示する。

ABSTRACT

Sorting algorithms have attracted a great deal of attention and study, as they have numerous applications to Mathematics, Computer Science and related fields. In this thesis, we first deal with the mathematical analysis of the Quicksort algorithm and its variants. Specifically, we study the time complexity of the algorithm and we provide a complete demonstration of the variance of the number of comparisons required, a known result but one whose detailed proof is not easy to read out of the literature. We also examine variants of Quicksort, where multiple pivots are chosen for the partitioning of the array. The rest of this work is dedicated to the analysis of finding the true order by further pairwise comparisons when a partial order compatible with the true order is given in advance. We discuss a number of cases where the partially ordered sets arise at random. To this end, we employ results from Graph and Information Theory. Finally, we obtain an alternative bound on the number of linear extensions when the partially ordered set arises from a random graph, and discuss the possible application of Shellsort in merging chains.

研究の動機と目的

• クイックソートの比較回数の分散に関する完全で詳細な導出を提供すること。これは文献で頻繁に引用されるが、ほとんど完全に証明されていない結果である。
• 二ピボットおよびマルチキー分割を含む、複数ピボットを用いるクイックソートの変種の性能を分析し、比較回数の統計的性質（分散や分布）を導出すること。
• ランダムなグラフから生じるランダムな部分順序集合における線形拡張の数を調査し、新たな境界と理論的洞察を提示すること。
• シャッターソートを、線形拡張の数が超線形である場合に特に有効な、部分順序データ構造におけるチェーンのマージ戦略としての応用を検討すること。

提案手法

• 生成関数と再帰的関係式を用いて、二ピボットおよびマルチピボット分割方式に注目し、クイックソートにおける鍵となる比較回数の分散を導出する。
• 生成関数の手法を適用し、調和数 $ H_n $ および一般化された調和数 $ H_n^{(2)} $ を含む二階の再帰的関係式を解く。
• マルチキー分割の解析において、バーデルモンド行列を用いて積分定数を導出し、比較回数の正確な解を得る。
• グラフ理論および情報理論の道具を用いて、特にランダムグラフ順序を含むランダムな部分順序集合をモデル化し、その構造的性質（高さ、線形拡張の数など）を分析する。
• 加法的パラメータとposet分解技術を用いて、ランダムグラフ順序の期待線形拡張数に対する新たな境界を導出する。
• 線形拡張の数が超線形である場合に特に有効であるとされる、部分順序集合におけるチェーンのマージ戦略としてのシャッターソートの提案。理論的性能境界に基づく。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二ピボットクイックソートにおける比較回数の正確な分散は何か？ そして、第一原理から厳密に導出できるか？
• RQ2 メディアン・オブ・スリーまたはリメディアン分割を含む、複数ピボットクイックソートの変種は、比較回数の分布およびモーメントにどのように影響を与えるか？
• RQ3 ランダムなグラフから導かれるランダムな部分順序集合における線形拡張の期待数は何か？ 要素数に伴いどのようにスケーリングされるか？
• RQ4 ランダムグラフ順序の高さは漸近的にどのように振る舞い、その期待値に対してどのような境界を確立できるか？
• RQ5 シャッターソートは、部分順序集合におけるチェーンのマージに効果的に用いることができるか？ どのような条件下で他のマージ戦略を上回るか？

主な発見

• 二ピボットクイックソートにおける比較回数の分散は、$ f_n''(1) = 4(n+1)^2(H_{n+1}^2 - H_{n+1}^{(2)}) - 4H_{n+1}(n+1)(4n+3) + 23n^2 + 33n + 12 $ として導出された。ここで $ H_n $ および $ H_n^{(2)} $ は調和数および一般化された調和数を表す。
• 比較回数の二階モーメントに関する再帰的関係式が確立され、二階差分方程式が $ \Delta^2 \binom{n}{2}f_n''(1) = 12(n+1)(n+2)(H_n^2 - H_n^{(2)}) - H_n(20n^2 + 32n - 12) + 17n^2 + 37n + 3 $ に簡略化される。
• 加法的パラメータとposet分解技術に基づき、ランダムグラフ順序の期待線形拡張数に対する代替境界が導出され、従来の推定値を改善する。
• ランダムグラフ順序の期待高さは有界であり、解析により、多くの場合において線形拡張の数が超線形に増加することが示され、チェーンのマージにシャッターソートを用いる正当性が裏付けられる。
• 部分順序集合へのマージソートの適用は $ (1+\epsilon)\log_2(e(P)) + O(n) $ 時間で達成され、$ \log_2(e(P)) $ が超線形である場合にはシャッターソートが実用的な代替戦略であると示唆される。
• サイズ $ m_1, \dots, m_k $ の $ k $ 個のチェーンをもつ部分順序集合における反転数は、$ \binom{n}{2} - \sum_{j=1}^k \binom{m_j}{2} $ で抑えられ、これはチェーンの順序が最悪の場合に達する。