[論文レビュー] The quotient of a Kauffman bracket skein algebra by the square of an augmentation ideal

Shunsuke Tsuji|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、表面のクラフマン・ブラケット系代数の補完理想の平方による商に対する明示的基底を構成し、代数により細かいフィルトレーションを定義することを可能にする。このフィルトレーションにより、ハンドル体内のリンクの2つの有限型不変量が得られ、バーゲル＝キャンベル＝ハウゼンの公式を用いて、 genus zero の表面の写像類群を完成化された系代数へ単射群準同型で埋め込むことが可能になる。

ABSTRACT

We give an explicit basis $\mathcal{B}$ of the quotient of the Kauffman bracket skein algebra $\mathcal{S} (Σ)$ on a surface $Σ$ by the square of an augmentation ideal. As an application, it induces two kinds of finite type invariants of links in a handle body in the sense of Le. Moreover, we construct an embedding of the mapping class group of a compact connected surface of genus $0$ into the Kauffman bracket skein algebra on the surface completed with respect to a filtration coming from the augmentation ideal.

研究の動機と目的

• 補完理想の平方による Kauffman ブラケット系代数の商に対する明示的基底を提供すること。
• 標準的な補完理想の冪フィルトレーションよりも細かい系代数上の新しいフィルトレーションを定義すること。
• 新しいフィルトレーションを用いて、ハンドル体内のリンクの有限型不変量を構成すること。
• Baker-Campbell-Hausdorff 公式を用いて、genus zero の表面の写像類群を完成化された系代数へ埋め込むこと。
• 対数的構造を用いて、Dehn 回転作用に関する以前の結果をより広いクラスの写像類群元へ一般化すること。

提案手法

• 表面 $\Sigma$ の基本群を生成する $x_i$ を用いて、$\{1\}$, $\{A+1\}$, $\{\langle x_i, x_j \rangle \mid i \leq j\}$, および $\{\langle x_i, x_j, x_k \rangle \mid i < j < k\}$ からなる基底 $\mathcal{B}$ を $\mathcal{S}(\Sigma)/ (\ker \epsilon)^2$ に構成する。
• 基底 $\mathcal{B}$ の線形独立性を示すために、$\mathcal{S}(\Sigma) \times \mathcal{S}(\Sigma) \to \mathbb{Q}[A^{\pm 1}]$ への非退化な双一次形式 $\vartheta$ を定義する。
• 新しいフィルトレーション $\{F^n \mathcal{S}(\Sigma)\}_{n \geq 0}$ を $F^{2n} = (\ker \epsilon)^n$, $F^{2n+1} = F^3 \cdot F^{2n-2}$, および $F^3/F^4 \simeq \wedge^3 H_1(\Sigma, \mathbb{Q})$ で定義する。
• このフィルトレーションを用いて、完成化された系代数における Baker-Campbell-Hausdorff 級数を用いて、写像類群元の対数を定義する。
• Dehn 回転を特定の要素 $L(c)$ に写像する群準同型 $\zeta: \mathcal{M}(\Sigma) \to (\widehat{\mathcal{S}(\Sigma)}, \mathrm{bch})$ を定義する。ここで $L(c)$ は逆双曲余弦関数および対数関数を含む。
• 完成化された系モジュール上の $\exp(\sigma(\cdot))$ の作用を用いて、$\zeta(\xi) = 0$ ならば $\xi = \mathrm{id}$ を示すことで、$\zeta$ の単射性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kauffman ブラケット系代数の商 $\mathcal{S}(\Sigma)/(\ker \epsilon)^2$ に対する明示的基底は何か？
• RQ2 系代数に、より高次の不変量を捉えるためにより細かいフィルトレーションをどのように構成できるか？
• RQ3 $\mathcal{S}(\Sigma)/(\ker \epsilon)^2$ の構造から、ハンドル体内のリンクの有限型不変量を導出できるか？
• RQ4 対数的構造を用いて、genus zero の表面の写像類群を完成化された系代数へ埋め込むことは可能か？
• RQ5 Baker-Campbell-Hausdorff 公式は、完成化された系モジュール上での写像類群元の作用を一貫的に実現する方法を提供するか？

主な発見

• 明示的基底 $\mathcal{B}$ が $\mathcal{S}(\Sigma)/(\ker \epsilon)^2$ に対して構成され、$1$, $A+1$, $i \leq j$ に対する対称ペア $\langle x_i, x_j \rangle$, および $i < j < k$ に対する三重積 $\langle x_i, x_j, x_k \rangle$ からなる。
• 双一次形式 $\vartheta$ は非退化であり、$\vartheta((\ker \epsilon)^n (\ker \epsilon)^m) \in (A+1)^{n+m}$ を満たす。これにより、基底 $\mathcal{B}$ の線形独立性が保証される。
• 新しいフィルトレーション $\{F^n \mathcal{S}(\Sigma)\}$ は、$F^{2n+1} \mathcal{S}(\Sigma) = F^3 \mathcal{S}(\Sigma) \cdot F^{2n-2} \mathcal{S}(\Sigma)$ を満たし、$F^{2n}/F^{2n+1} \simeq S^2(H_1(\Sigma, \mathbb{Q}))$, $F^{2n+1}/F^{2n+2} \simeq \wedge^3(H_1(\Sigma, \mathbb{Q}))$ である。
• 商写像 $\mathcal{T}(\Sigma) \to \mathcal{S}(\Sigma)/(\ker \epsilon)^2$, $L \mapsto (-2)^{-|L|}[L]$ は、$\Sigma \times I$ 内のリンクに対して位数 2 の有限型不変量を定義する。
• 群準同型 $\zeta: \mathcal{M}(\Sigma) \to (\widehat{\mathcal{S}(\Sigma)}, \mathrm{bch})$ は適切に定義されており、単射である。これにより、写像類群が完成化された系代数へ埋め込まれる。
• $\xi \in \mathcal{M}(\Sigma)$ が $\widehat{\mathcal{S}(\Sigma,J)}$ 上に作用するとき、$\exp(\sigma(\zeta(\xi)))$ で与えられ、$\zeta(\xi) = 0$ であることと $\xi = \mathrm{id}$ であることは同値である。これにより、単射性が証明される。