[論文レビュー] The R- and L-orders of the Thompson-Higman monoid M_{k,1} and their complexity

Jean-Camille Birget|ArXiv.org|Dec 23, 2008

Rings, Modules, and Algebras参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、トムソン＝ヒグマンモノイド $M_{k,1}$ の R および L 順序を特徴づけ、それらが稠密で計算的に複雑であることを示している。回路に類似した生成集合を用いる場合、R 順序の決定問題は $Π_2^P$-完全であり、L 順序は coNP 完全である。モノイド理論と回路計算複雑性の間の密接な関係を示し、タイトな複雑性境界を確立する。

ABSTRACT

We study the monoid generalization M_{k,1} of the Thompson-Higman groups, and we characterize the R- and the L-preorder of M_{k,1}. Although M_{k,1} has only one non-zero J-class and k-1 non-zero D-classes, the R- and the L-preorder are complicated; in particular,

研究の動機と目的

• トムソン＝ヒグマンモノイド $M_{k,1}$ の R および L 順序を特徴づけること。これはトムソン群の一般化である。
• 有限または回路に類似した生成集合からの単語として入力が与えられた場合、これらの順序を決定する計算的複雑性を分析すること。
• R および L 順序の決定問題にタイトな複雑性境界を確立し、モノイド理論と回路計算複雑性を結びつけること。
• 多項式時間内に収まる右乗算子や右逆元が存在しない限り、多項式階層が崩壊する必要があることを証明すること。
• M_{k,1} における L 順序と組み合わせ回路における単射性および恒等性問題との関係を明らかにし、coNP 完全性を示すこと。

提案手法

• M_{k,1} の要素がカントール空間 $A^\omega$ に作用する様子と、$A^*$ 内の有限語への制限を通じて、R および L 順序を特徴づける。
• L 順序を特徴づけるために、ドメインコードと分割の粗さに基づくモノイド要素の「部分（part）」の概念を用いる。
• 既知の難問への還元により複雑性境界を導出する：恒真式問題を単射性問題に、単射性問題を L 順序の決定問題に還元する。
• ドメインコードおよび有界長さの語に対する関数値の多項式時間計算可能性を活用し、coNP 属性を確立する。
• 回路に類似した生成集合 $Γ \cup \tau$ を用いる。ここで $τ$ は位置の入れ替えからなる。これにより、組み合わせ回路を $M_{k,1}$ の語に直接符号化できる。
• 回路計算複雑性からの還元技術を適用する：組み合わせ回路の単射性および恒等性問題が coNP 完全であることを示し、L 順序の下界を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 M_{k,1} における R および L 順序の構造は何か？ そして、より単純な J および D 関係とはどのように異なるか？
• RQ2 有限生成集合からの単語として入力が与えられた場合、R および L 順序を決定する計算的複雑性は何か？
• RQ3 組み合わせ回路を符号化する回路に類似した生成集合を用いる場合、複雑性はどのように変化するか？
• RQ4 R 順序関係に対する右乗算子、または全射的要素に対する右逆元は、サイズが多項式的に有界に保てると考えられるか？ その複雑性理論的結果は何か？
• RQ5 M_{k,1} における L 順序と、組み合わせ回路における単射性・恒等性問題との関係は何か？

主な発見

• M_{k,1} の R 順序は稠密であり、単一の L 班内でも稠密である。同様に、L 順序は R 班内で稠密である。
• 有限生成集合を用いる場合、R および L 順序の決定問題の両方が P に属する。
• 回路に類似した生成集合を用いる場合、R 順序の決定問題は $Π_2^P$-完全である。
• 回路に類似した生成集合を用いる場合、L 順序の決定問題は coNP 完全である。
• 非巡回ブール回路の単射性および恒等性問題は coNP 完全である。
• 多項式階層が崩壊しない限り、M_{k,1} における R 順序関係の右乗算子や、全射的要素の右逆元は多項式的に有界に保てない。