[論文レビュー] The Rad\'o-Kneser-Choquet theorem for $p$-harmonic mappings between Riemannian surfaces

Tomasz Adamowicz, Jarmo Jääskeläinen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2018

Analytic and geometric function theory参考文献 56被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、リーマン多様体上の写像に関して、p-調和版のRadó–Kneser–Choquet定理を確立し、非正曲率のコン pactな表面から、非負曲率の目標多様体内の測地的凸部分集合へのp-調和最小化写像が、境界データがC1,α-ホメオモルフィズムである限り、微分同相写像であることを証明する。証明は、ϵ-摂動を加えた一様強楕円型系を用いたホモトピー論法に依拠し、ヤコビアン関連量の下調和性を利用し、最小原理を用いてヤコビアンの正定性を確立する。これは、古典的結果を非線形的・曲がった設定へと拡張するものである。

ABSTRACT

In the planar setting the Rad\'o-Kneser-Choquet theorem states that a harmonic map from the unit disk onto a Jordan domain bounded by a convex curve is a diffeomorphism provided that the boundary mapping is a homeomorphism. We prove the injectivity criterion of Rad\'o-Kneser-Choquet for $p$-harmonic mappings between Riemannian surfaces. In our proof of the injecticity criterion we approximate the $p$-harmonic map with auxiliary mappings that solve uniformly elliptic systems. We prove that each auxiliary mapping has a positive Jacobian by a homotopy argument. We keep the maps injective all the way through the homotopy with the help of the minimum principle for a certain subharmonic expression that is related to the Jacobian.

研究の動機と目的

• ユークリッド平面上の調和写像に適用可能な古典的Radó–Kneser–Choquet定理を、リーマン多様体間のp-調和写像へと拡張すること。
• リーマン多様体間のp-調和最小化写像が微分同相写像となる条件を確立し、単射性と滑らかさを保証すること。
• p-調和写像のEuler–Lagrange方程式における曲率が引き起こす課題を、摂動法とホモトピー論法により克服すること。
• ホモトピー全体にわたりヤコビアンが正のままであることを証明し、単射性が保たれることを示すこと。

提案手法

• ϵ > 0 における摂動を加えた一様強楕円型系の解によって、p-調和写像を近似し、ϵ = 0 における退化を回避するとともに正則性を保証する。
• 摂動系と元のp-調和系を結ぶホモトピー論法を用い、単射性が保存されることを保証する。
• ヤコビアン関連量の下調和性を応用し、最小原理を適用することで、ホモトピー全体でヤコビアンが正であることを証明する。
• ϵ-摂動系のC1,α-正則性を活用し、滑らかさと勾配の制御を実現する。
• ガウスの補題と小径の球体における測地的凸性を用いて、目標多様体内での距離増加と角度条件を解析する。
• アニュラーエリアに局所的収縮写像を構成し、ホモトピーの挙動を制御し、像が小さな測地的球内に留まるように保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン多様体間のp-調和写像が微分同相写像であるための、幾何的および解析的条件は何か？
• RQ2 古典的Radó–Kneser–Choquet定理は、曲がった表面における調和写像からp-調和写像へと拡張可能か？
• RQ3 曲率が系の調和性を破る場合、摂動およびホモトピーにおいてヤコビアンの正定性をどのように保てるか？
• RQ4 源多様体および目標多様体の曲率が、p-調和最小化写像の単射性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 Euler–Lagrange系が曲率のため非斉次的となる場合、ホモトピー論法を用いてp-調和写像の単射性を証明できるか？

主な発見

• p-調和最小化写像 u: M → N' は、内部でヤコビアンが消えない、その像 N への C1,α-微分同相写像である。
• ホモトピー全体にわたり、p-調和写像のヤコビアンは厳密に正であり、単射性が保たれる。
• C1,α-正則性とヤコビアンの正定性に起因し、解は M の内部で C∞-滑らかである。
• 証明は、ヤコビアン関連量の下調和性に依拠しており、これが境界で最小値をとることから、正のまま保たれる。
• 目標領域の小径条件（半径 rN′,p の測地的球内に含まれる）により、局所的凸性が保証され、証明における比較幾何学の応用が可能になる。
• ϵ > 0 における摂動系は一様強楕円型であり、C1,α-正則解を有し、ϵ → 0 の極限でp-調和解に収束する。