[論文レビュー] The radial breathing mode in CNT - the nonlinear theory of the resonant energy exchange

В. В. Смирнов, Leonid I. Manevitch+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2015

Mechanical and Optical Resonators被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、薄皮理論から導かれた修正非線形シュレーディンガー方程式を用いて、カーボンナノチューブ（CNTs）における径方向振動モード（RBM）を介した長時間にわたる共鳴エネルギー交換を非線形理論的に説明する。研究では、広いエネルギー範囲において安定したエネルギー交換が実現されることを示し、数値積分により解析的予測が確認された。その結果、強い勾配非線形性がモード不安定性の予想にもかかわらずエネルギー局在を防ぐことが明らかになった。

ABSTRACT

We demonstrate the new specific phenomenon of the long-time resonant energy exchange in the carbon nanotubes (CNTs) with the radial breathing mode as a carrier. This process turns out to be stable in the wide range of the excitation energy. It is shown that the modified nonlinear Schrödinger equation, obtained in the framework of nonlinear elastic thin shell theory, describes the CNT nonlinear dynamics in the considered frequency band. The numerical integration of the thin shell theory equations confirms the results of the analytical study.

研究の動機と目的

• 径方向振動モード（RBM）によって駆動されるカーボンナノチューブ（CNTs）における共鳴エネルギー交換を調査すること。
• 近接周波数を持つ正規モードを有するCNTsにおける長時間にわたるエネルギー交換を記述可能な非線形力学的フレームワークを構築すること。
• 幾何的および材料的非線形性がRBM支配系におけるエネルギー交換プロセスの安定化に果たす役割を分析すること。
• さまざまなアスペクト比および励振振幅の条件下で、サンダース＝クイター薄皮方程式の数値積分を用いて解析的結果を検証すること。

提案手法

• CNTsの径方向振動周波数帯域における非線形弾性薄皮理論から、修正非線形シュレーディンガー方程式（mNLS）を導出すること。
• チェビシェフ多項式を用いた二重級数展開を用いて、レイリー＝リッツ法により固有関数および固有振動数を近似すること。
• 線形化された固有関数を用いた変位場の再展開により、ラグランジュの運動方程式を用いて非線形常微分方程式系を導出すること。
• 高精度および適応的ステップサイズを有する陰的ルンゲ＝クッタ法を用いて、導出された非線形ODEを数値的に解くこと。
• 極限位相軌道（LPT）概念を用いて、共鳴非線形正規モード（NNMs）間の最大エネルギー交換を記述すること。
• さまざまなCNTアスペクト比における、mNLS方程式およびLPTに基づくエネルギー交換周期との比較を通じて、解析的予測の妥当性を検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強い非線形性が存在するにもかかわらず、径方向振動モードが励振された場合に、CNTsで長時間にわたる共鳴エネルギー交換が可能かどうか。
• RQ2 修正非線形シュレーディンガー方程式は、CNTsにおける径方向振動モードの力学的挙動をどのように記述できるか。
• RQ3 幾何的非線形性が、RBMにおけるエネルギー交換の安定化およびエネルギー局在の防止に果たす役割は何か。
• RQ4 異なるCNTアスペクト比が、共鳴エネルギー交換の安定性および周期にどのように影響を与えるか。
• RQ5 極限位相軌道（LPT）概念は、RBM系におけるエネルギー交換ダイナミクスをどの程度正確に予測できるか。

主な発見

• 径方向振動モードは、エネルギー局在の予想とは対照的に、広い励振エネルギー範囲において安定した長時間の共鳴エネルギー交換を可能にする。
• 修正非線形シュレーディンガー方程式は、考察された周波数帯域におけるRBMの非線形力学的挙動を正確に記述している。
• サンダース＝クイター薄皮方程式の数値積分により、LPTに基づく理論的表現と一致するエネルギー交換周期が解析的予測と一致することが確認された。
• CNTのアスペクト比L/R ≥ 20の場合、複数のモードが共鳴状態に参加することが示され、高次モード結合の重要性が示された。
• 径方向に強い勾配非線形性が存在するため、エネルギー局在が防がれ、これは周方向曲げモードなど他の振動モードとは異なる特徴である。
• 異なるアスペクト比（L/R = 20, 40, 80）においてもエネルギー交換プロセスは頑健であり、初期振幅の広い範囲で理論的予測と一致する交換周期が得られた。