[論文レビュー] The Radon transform and the Hough transform: a unifying perspective

Riccardo Aramini, Fabrice Delbary+3 more|arXiv (Cornell University)|May 30, 2016

Image and Object Detection Techniques参考文献 29被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、適切な条件下で、離散化されたHoughシンログラムがパラメータ空間の量子化ステップが0に近づくにつれて連続的ラドンシンログラムに収束することを示すことにより、ラドン変換とHough変換の理論的統一を確立する。主な貢献は、Hough変換に基づくパターン認識が、連続的ラドン変換の離散的近似と見なせることを厳密な数学的枠組みで示したことである。この結果は、逆問題における画像再構成および正則化に影響を及ぼす。

ABSTRACT

The Radon transform is a linear integral transform that mimics the data formation process in medical imaging modalities like X-ray Computerized Tomography and Positron Emission Tomography. The Hough transform is a pattern recognition technique, which is mainly used to detect straight lines in digital images and which has been recently extended to the automatic recognition of algebraic plane curves. Although defined in very different ways, in numerical applications both transforms ultimately take an image as an input and provide, as an output, a function defined on a parameter space. The parameters in this space describe a family of curves, which represent either the integration domains considered in the (generalized) Radon transform, or the curves to be detected by means of the Hough transform. In both cases, the 2D plot of the intensity values of the output function is the so-called (Radon or Hough) sinogram. While the Hough sinogram is produced by an algorithm whose implementation requires that the parameter space be discretized in cells, the Radon sinogram is mathematically defined on a continuous parameter space, which in turn may need to be discretized just for physical or numerical reasons. In this paper, by considering a more general and n-dimensional setting, we prove that, whether the input image is described as a set of points (possibly with different intensity values) or as a piecewise constant function, its (rescaled) Hough sinogram converges to the corresponding Radon sinogram as the discretization step in the parameter space tends to zero. We also show that this result may have a notable impact on the image reconstruction problem of inverting the Radon sinogram recorded by a medical imaging scanner, and that the description of the Hough transform problem within the framework of regularization theory for inverse problems is worth investigating.

研究の動機と目的

• ラドン変換とHough変換の間の理論的リンクを確立すること。これらは従来、別個の数学的ツールとして扱われてきた。
• パラメータ空間の量子化ステップが0に近づくにつれて、離散的Hough変換シンログラムが連続的ラドン変換シンログラムに収束するかを調査すること。
• この収束が、特に逆問題と正則化理論の文脈における医用画像再構成に与える影響を明らかにすること。
• 代数的曲線とパラメータ空間の積分を想定した設定において、Hough変換の厳密な数学的基盤を提供すること。

提案手法

• 両変換が点集合または区分的定数関数として表現される画像上で作用する一般のn次元設定を考察する。
• Hough変換を、量子化されたパラメータ空間上の離散的アキュムレータ関数として定義し、各セルが画像点からの得票数を数える。
• ラドン変換は、関数f(x;λ)の等高線集合上で積分する連続的積分として定式化され、積分を曲線f(x;λ) = 0に制限するためにデルタ関数が用いられる。
• レベル集合の局所的パラメータ化を可能にするために、ユニット分割（partition of unity）が用いられ、ラドン積分が局所的パラメータ化における積分の和に変換される。
• fの勾配の有界性および関係する関数の滑らかさを用いて、局所的近傍における積分の一様収束を示すことにより、ラドン変換の連続性が確立される。
• 量子化ステップが消失する極限において、離散和が連続積分を近似することを示すことにより、Houghシンログラムがラドンシンログラムに収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータ空間における量子化ステップが0に近づくにつれて、Hough変換シンログラムはラドン変換シンログラムに収束するか？
• RQ2 Hough変換は、一般のn次元設定において、連続的ラドン変換の正式な離散的近似と解釈できるか？
• RQ3 Hough変換の出力がラドン変換の出力に収束するための関数解析的条件は何か？
• RQ4 この収束は、医用画像診断におけるシンログラムの数値的逆問題にどのような影響を及ぼすか？
• RQ5 Hough変換問題は、逆問題の正則化理論の枠組み内で意味的に再定式化可能か？

主な発見

• 曲線および画像関数にやや弱い正則性条件が課されれば、パラメータ空間における量子化ステップが0に近づくにつれて、Houghシンログラムはラドンシンログラムに収束する。
• ラドン変換がパラメータ空間で連続であることが示され、これによりその安定性および数値的逆問題への適性が裏付けられる。
• 収束結果は、点ベース表現および区分的定数関数表現の両方に対して成立し、このフレームワークの有効性が拡張される。
• 証明は、陰関数定理を用いたレベル集合の局所的パラメータ化と、滑らかさと可積分性を保証するユニット分割に依存している。
• この結果は、Hough変換に基づく検出手法が、連続的逆ラドン問題の正則化された離散的近似と解釈できることを示唆する。
• このフレームワークは、ノイズが多いまたは不完全なデータの状況において、正則化理論をHough変換問題に応用する新たな道を開く。