[論文レビュー] The rainbow connection number of enhanced power graph

Luis A. Dupont, Daniel G. Mendoza+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2017

Finite Group Theory Research参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、有限群の強化されたべき乗グラフのレインボーコネクティビティ数を、その最大巡回部分群と独立巡回構造の分析によって決定する。群が巡回群である場合、レインボーコネクティビティ数は1である。2つの最大巡回部分群に共通する非自明な要素（「アウェン」構造）を持つ場合、2である。それ以外の場合は3以上となり、独立な最大巡回部分群の数とインヴォリューションの有無に依存する。

ABSTRACT

Let $G$ be a finite group, the enhanced power graph of $G$, denoted by $Γ_G^e$, is the graph with vertex set $G$ and two vertices $x,y$ are edge connected in $Γ_{G}^e$ if there exist $z\in G$ such that $x,y\in\langle z angle$. Let $ζ$ be a edge-coloring of $Γ_G^e$. In this article, we calculate the rainbow connection number of the enhanced power graph $Γ_G^e$.

研究の動機と目的

• 有限群の強化されたべき乗グラフのレインボーコネクティビティ数を特定すること。
• 群の最大巡回部分群およびそれらの交差の観点から、レインボーコネクティビティ数を特徴付けること。
• 2つの最大巡回部分群に共通する非自明な要素を持つ「アウェン」と呼ばれる構造を導入・分析し、その構造的条件を核とするものとする。
• 従来のべき乗グラフに関する結果を、強化されたべき乗グラフの文脈に一般化すること。
• 独立巡回数や最大インヴォリューション集合といった不変量に基づいて、レインボーコネクティビティ数の正確な式を確立すること。

提案手法

• 頂点集合がGで、同じ巡回部分群に属する要素間に辺が引かれる強化されたべき乗グラフΓₑᴳを定義する。
• 互いに交わりのない最大巡回部分群を分類するため、独立巡回集合（ics(G)）と独立巡回数（icn(G)）を導入する。
• エッジ彩色技法を用いてレインボーパスを構成し、特定のエッジ集合E₁, E₂, ... に属するかに基づいて色を割り当てる。
• 2つの最大巡回部分群に共通する非自明な要素を持つものを「アウェン」と定義し、2色彩色を可能にする。
• 2色彩色が存在するための必要十分条件として、アウェンが存在し、かつ群が非巡回群であることの証明。
• 最大インヴォリューションや巡回部分群の交差の役割を含む、群の構造的性質を用いて、境界と正確な値を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限群の強化されたべき乗グラフのレインボーコネクティビティ数は何か。また、群の構造にどのように依存するか。
• RQ2 強化されたべき乗グラフが2色彩色を許容するのはどのような条件か。3色以上が必要となるのはいつか。
• RQ3 最大巡回部分群間に共通する非自明な要素（「アウェン」）がある場合、レインボーコネクティビティ数にどのような影響を与えるか。
• RQ4 最大インヴォリューションと独立巡回部分群は、レインボーコネクティビティ数の決定において果たす役割は何か。
• RQ5 強化されたべき乗グラフのレインボーコネクティビティ数は、標準的べき乗グラフのそれとどのように関係するか。

主な発見

• 強化されたべき乗グラフのレインボーコネクティビティ数は、群が巡回群である場合にかつその場合に限り1である。
• 強化されたべき乗グラフのレインボーコネクティビティ数は、群が非巡回群であり、かつ2つの異なる最大巡回部分群に共通する非自明な要素（「アウェン」）を持つ場合にかつその場合に限り2である。
• アウェンが存在せず、群が非巡回群である場合、レインボーコネクティビティ数は3である。
• 独立巡回数icn(G) ≥ 3 である場合、レインボーコネクティビティ数は最大インヴォリューション数|InMax_G|に等しい。
• icn(G) = 2 かつ |Max_G| ≥ 4 である群では、レインボーコネクティビティ数は正確に3である。
• 強化されたべき乗グラフのレインボーコネクティビティ数は、常に標準的べき乗グラフのそれ以下の値をとる。