[論文レビュー] The Ramanujan Property for Simplicial Complexes

Uriya A. First|arXiv (Cornell University)|May 9, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 46被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、局所体の正標数におけるアフィンビルディングの商におけるスペクトル理論を用いて、高次元単体複体におけるラマヌジャン性質を統一的に定式化するフレームワークを導入する。Ramanujanグラフを高次元に一般化し、表現論および自動形式を用いて、正標数の局所体上のアフィンビルディングがすべての次元で無限に多くのラマヌジャン商を持つことを証明する。既知のラマヌジャン複体が特殊ケースとして回復され、新たなラマヌジャングラフが構成される。

ABSTRACT

Let $G$ be a topological group acting on a simplicial complex $\mathcal{X}$ satisfying some mild assumptions. For example, consider a $k$-regular tree and its automorphism group, or more generally, a regular affine Bruhat-Tits building and its automorphism group. We define and study various types of high-dimensional spectra of quotients of $\mathcal{X}$ by subgroups of $G$. These spectra include the spectrum of many natural operators associated with the quotients, e.g. the high-dimensional Laplacians. We prove a theorem in the spirit of the Alon-Boppana Theorem, leading to a notion of Ramanujan quotients of $\mathcal{X}$. Ramanujan $k$-regular graphs and Ramanuajn complexes in the sense of Lubotzky, Samuels and Vishne are Ramanujan in dimension $0$ according to our definition (for $\mathcal{X}$, $G$ suitably chosen). We give a criterion for a quotient of $\mathcal{X}$ to be Ramanujan which is phrased in terms of representations of $G$, and use it, together with deep results about automorphic representations, to show that affine buildings of inner forms of $\mathbf{GL}_n$ over local fields of positive characteristic admit infinitely many quotients which are Ramanujan in all dimensions. The Ramanujan (in dimension $0$) complexes constructed by Lubotzky, Samuels and Vishne arise as a special case of our construction. Our construction also gives rise to Ramanujan graphs which are apparently new. Other applications are also discussed. For example, we show that there are non-isomorphic simiplicial complexes which are isospectral in all dimensions.

研究の動機と目的

• アフィンビルディングの商におけるスペクトル理論を用いて、グラフのラマヌジャン性質を高次元単体複体へ一般化すること。
• 自己同型群の表現論に基づいて、商複体がラマヌジャンであるための基準を確立すること。
• 正標数の局所体上のGL_nの内部形式のアフィンビルディングに対して、すべての次元で無限に多くのラマヌジャン商が存在することを証明すること。
• 既知のラマヌジャン複体およびグラフが、新しいフレームワークの特殊ケースとして回復されること。
• 従来知られていなかった新たなラマヌジャン複体およびグラフを構成し、すべての次元で等スペクトルだが非同型な複体の存在を示すこと。

提案手法

• 群作用に関連するヘッケ作用素およびラプラシアンを用いて、単体複体Xの商の高次元スペクトルを定義する。
• 高次元のアロン–ボッパナ型定理を定式化し、スペクトル下界を確立することで、ラマヌジャン商の概念を導く。
• Xの自己同型群Gの表現論を用いて、温度的表現およびユニタリ双対を介してラマヌジャン商を特徴付ける。
• 正標数におけるGL_nの自動表現およびラマヌジャン–ピーターソン予想の深い結果を応用し、ラマヌジャン商を構成する。
• ジャケット–ラングランズ対応および合同部分群を用いて、ビルディングの明示的商を有限複体として実現する。
• *-代数の関手的枠組みおよびスペクトル分解を用いて、既約ユニタリ表現を通じてスペクトルを計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフのラマヌジャン性質は、スペクトル理論を用いて高次元単体複体へ一般化可能か？
• RQ2 商複体が最適スペクトル境界内にスペクトルを有するための条件は何か？これはラマヌジャングラフ条件に類似する。
• RQ3 正標数の局所体上のアフィンビルディングは、すべての次元で無限に多くのラマヌジャン商を持つか？
• RQ4 自動形式および表現論を用いて、新たなラマヌジャン複体およびグラフを構成可能か？
• RQ5 すべての次元で等スペクトルだが非同型な単体複体は存在するか？

主な発見

• 正標数の局所体上のGL_nの内部形式のアフィンビルディングは、すべての次元で無限に多くのラマヌジャン商を持つ。
• ビルディングがPGL_d(F)のとき、Lubotzky, Samuels, および Vishneの既知のラマヌジャン複体が、この構成の特殊ケースとして回復される。
• この手法により、従来知られていなかった新たなラマヌジャングラフが得られ、除法代数Dに対するPGL_d(D)の合同部分群から生じる。
• このフレームワークにより、すべての次元で等スペクトルだが非同型な単体複体の存在が証明される。
• 商複体のスペクトルは、ユニバーサル被覆のスペクトルに自明なスペクトルを加えたものに含まれる。これはラマヌジャングラフ条件の一般化である。
• ラマヌジャン商の基準は、温度的表現およびユニタリ双対の観点から述べられ、自動形式を通じて明示的なスペクトル解析が可能になる。