[論文レビュー] The rank 1 real Wishart spiked model

M. Y. Mo|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2011

Random Matrices and Applications参考文献 68被引用数 15

ひとこと要約

本稿はランク1の実Wishartスプライドモデルを研究し、ランク1の行列を用いたHarish-Chandra-Itzykson-Zuber積分の新しい contour 積分公式を用いて、位相転移点における最大固有値の漸近的分布を導出する。主な結果は、Painlevé超越関数で表される新しいFredholm行列式の公式であり、大N極限における最大固有値分布の積分表現を提供するが、従来の確率的作用素に基づく手法とは異なる。

ABSTRACT

In this paper, we consider N-dimensional real Wishart matrices Y in the class $W_{\mathbb{R}}(Σ,M)$ in which all but one eigenvalues of $Σ$ is 1. Let the non-trivial eigenvalue of $Σ$ be $1+τ$, then as N, $M ightarrow\infty$, with $M/N=γ^2$ finite and non-zero, the eigenvalue distribution of $Y$ will converge into the Marchenko-Pastur distribution inside a bulk region. When $τ$ increases from zero, one starts to see a stray eigenvalue of Y outside of the support of the Marchenko-Pastur density. As the this stray eigenvalue leaves the bulk region, a phase transition will occur in the largest eigenvalue distribution of the Wishart matrix. In this paper we will compute the asymptotics of the largest eigenvalue distribution when the phase transition occur. We will first establish the results that are valid for all N and M and will use them to carry out the asymptotic analysis. In particular, we have derived a contour integral formula for the Harish-Chandra Itzykson-Zuber integral $\int_{O(N)}e^{- r(XgYg^T)}g^T\D g$ when X, Y are real symmetric and Y is a rank 1 matrix. This allows us to write down a Fredholm determinant formula for the largest eigenvalue distribution and analyze it using orthogonal polynomial techniques. As a result, we obtain an integral formula for the largest eigenvalue distribution in the large N limit characterized by Painleve transcendents. The approach used in this paper is very different from a recent paper (Bloemendal and Virag ArXiv:1011.1877), in which the largest eigenvalue distribution was obtained using stochastic operator method. In particular, the Painleve formula for the largest eigenvalue distribution obtained in this paper is new.

研究の動機と目的

• N, M → ∞ かつ M/N = γ² が有限であるとき、ランク1の実Wishartスプライドモデルにおける最大固有値の漸近的挙動を分析すること。
• 1つの行列がランク1で実対称である場合のHarish-Chandra-Itzykson-Zuber積分の contour 積分公式を導出すること。
• 直交多項式技法を用いて、最大固有値分布のFredholm行列式の公式を確立すること。
• τ = γ⁻¹ における最大固有値分布の位相転移をPainlevé超越関数を用いて特徴付けること。
• 従来の確率的作用素法とは異なる、大N極限における最大固有値分布の新しい解析的公式を提供すること。

提案手法

• 1つの行列がランク1である場合の実対称Harish-Chandra-Itzykson-Zuber積分の contour 積分表現を導出し、固有値統計の正確な計算を可能にする。
• 直交多項式技法を用いて、最大固有値分布のFredholm行列式表現を分析する。
• 解のカーネルのRiemann-Hilbert問題を構築し、モノドロミー解析を介してPainlevé II方程式と関連付ける。
• 解関数とPainlevé II方程式のHastings-McLeod解との間の関係を確立する。
• Riemann-Hilbert問題に対する漸近的解析を適用し、正規化と可解性を保証するための次に高い項を同定する。
• Painlevé超越関数でパrameter化された、大N極限における最大固有値分布の積分公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 τ = γ⁻¹ におけるランク1の実Wishartスプライドモデルの最大固有値分布は、どのように振る舞うか？
• RQ2 1つの行列がランク1で実対称である場合、Harish-Chandra-Itzykson-Zuber積分に対して contour 積分公式を導出可能か？
• RQ3 このモデルにおける最大固有値分布のFredholm行列式表現は何か？
• RQ4 位相転移点における最大固有値の漸近的挙動は、Tracy-Widom分布とどのように異なるか？
• RQ5 大N極限において、最大固有値分布をPainlevé超越関数で表現可能か？

主な発見

• 1つの行列がランク1で実対称である場合のHarish-Chandra-Itzykson-Zuber積分に対して、新しい contour 積分公式が導出され、固有値統計の正確な計算が可能になる。
• 直交多項式技法とRiemann-Hilbert問題の分析を用いて、最大固有値分布のFredholm行列式の公式が確立される。
• 最大固有値分布の位相転移は τ = γ⁻¹ で発生し、従来の複素およびクaternion的モデルと整合的である。
• 最大固有値の漸近的分布は、Painlevé超越関数を含む新しい積分公式で特徴付けられ、Tracy-Widom分布とは異なる。
• 従来の確率的作用素法とは根本的に異なる手法を用い、最大固有値分布のPainlevéに基づく新たな公式が得られる。
• Riemann-Hilbert問題の解は、Airy関数の漸近的挙動とPainlevé II方程式のモノドロミー構造によって一意に決定される。