[論文レビュー] The Rank Theorem and $L^2$-invariants in Free Entropy: Global Upper Bounds

Kenley Jung|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、トレース付きフォン・ノイマン代数における微状態自由エントロピー次元 δ₀(X) のグローバルな上界を、ランク定理の非可換版を用いて確立する。導関数に類似した作用素 DsF(X) を導入し、その核の次元が δ₀(X) と関連することを示し、δ₀(X) ≤ Nullity(DsF(X)) + δ₀(F(X):X) を証明する。特に、等号が成立する特殊な場合を含む。主な貢献は、sofic で左順序可能かつ2生成子を持つ群 Γ ≠ F₂ に対して、群フォン・ノイマン代数 L(Γ) が強く1-有界であることを示し、任意の有限生成集合 X に対して δ₀(X) = 1 が成り立つことである。

ABSTRACT

Using an analogy with the rank theorem in differential geometry, it is shown that for a finite $n$-tuple $X$ in a tracial von Neumann algebra and any finite $m$-tuple $F$ of $*$-polynomials in $n$ noncommuting indeterminates, \begin{eqnarray*} δ_0(X) & \leq & ext{Nullity}(D^sF(X)) + δ_0(F(X):X) \end{eqnarray*} where $δ_0$ is the (modified) microstates free entropy dimension and $D^sF(X)$ is a kind of derivative of $F$ evaluated at $X$. When $F(X) =0$ and $|D^sF(X)|$ has nonzero Fuglede-Kadison-Lück determinant, then $X$ is $α$-bounded in the sense of \cite{j3} where $α= ext{Nullity}(D^sF(X))$. Using Linnell's $L^2$ integral domain results in \cite{l} as well as Elek and Szabó's work on Lück's determinant conjecture for sofic groups in \cite{es} the following result is proven. Suppose $Γ$ is a sofic, left-orderable, discrete group with 2 generators and $Γ eq \{0\}$. The following conditions are equivalent: (1) $Γ ot\simeq \mathbb F_2$. (2) $L(Γ) ot\simeq L(\mathbb F_2)$. (3) $L(Γ)$ is strongly $1$-bounded. (4) $δ_0(X) = 1$ for any finite set of generators $X$ for $L(Γ)$. From Brodskiĭ and Howie's results on local indicability (\cite{b}, \cite{h}), it follows that a sofic, torsion-free, one-relator group von Neumann algebra on two generators with nontrivial relator is strongly $1$-bounded. It also follows from the residual solvability of the positive one relator groups (\cite{baum}) that a one-relator group von Neumann algebra on two generators whose relator is a nontrivial, positive, non-proper word in the generators is strongly $1$-bounded.

研究の動機と目的

• 微分幾何学における古典的ランク定理を、トレース付きフォン・ノイマン代数と自由確率論の文脈へ一般化すること。
• 非可換導関数 DsF(X) の核の次元を用いて、修正された微状態自由エントロピー次元 δ₀(X) のグローバルな上界を確立すること。
• この上界を L²不変量、特に Fuglede-Kadison-Lück 行列式と関連づけ、群フォン・ノイマン代数に応用すること。
• sofic で左順序可能かつ2生成子の群 Γ ≠ F₂ に対して、群因子 L(Γ) が強く1-有界であることを証明し、任意の有限生成集合 X に対して δ₀(X) = 1 が成り立つこと。

提案手法

• 微分幾何学におけるヤコビアンを一般化し、M ⊗ M^op に値をとる行列として非可換導関数 DsF(X) を定義する。
• 核への射影の（非正規化された）トレースを用いて DsF(X) の核の次元を定義し、解空間の次元に類似した解釈を与える。
• L²整域に関する Linnell の結果と、sofic 群における Lück の行列式予想に関する Elek-Szabó の研究を用いて、DsF(X) の Fuglede-Kadison-Lück 行列式を制御する。
• 被覆エントロピー Kα とハウスドルフエントロピー Hα を用いて α-有界性を定義し、Kα < ∞ ならば δ₀ ≤ α が成り立つことを用いる。
• スターリングの公式と固有値の初等対称関数に関する不等式を用いて、特異値集合の漸近的体積推定を行う。
• St. Raymond の方法による変数変換公式を応用し、特異値制約によって定義される集合の ǫ-近傍の体積を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分幾何学における古典的ランク定理を、トレース付きフォン・ノイマン代数と自由確率論の非可換な文脈へ一般化できるか？
• RQ2 非可換導関数 DsF(X) の核の次元と自由エントロピー次元 δ₀(X) の正確な関係は何か？
• RQ3 不等式 δ₀(X) ≤ Nullity(DsF(X)) + δ₀(F(X):X) が等号に達する条件や、強い有界性を導く条件は何か？
• RQ4 どのクラスの群に対して群フォン・ノイマン代数が強く1-有界であり、その性質は群の構造とどのように関係するか？
• RQ5 Fuglede-Kadison-Lück 行列式や L² ベッチー数などの L² 不変量は、群因子の自由エントロピー次元をどのように制約するか？

主な発見

• 本稿では不等式 δ₀(X) ≤ Nullity(DsF(X)) + δ₀(F(X):X) を証明し、自由確率論および作用素代数へのランク定理の一般化を達成する。
• F(X) = 0 かつ |DsF(X)| が非ゼロの Fuglede-Kadison-Lück 行列式を持つ場合、X は α = Nullity(DsF(X)) に対して α-有界である。
• sofic で左順序可能かつ2生成子の群 Γ ≠ F₂ に対して、群フォン・ノイマン代数 L(Γ) は強く1-有界であり、任意の有限生成集合 X に対して δ₀(X) = 1 が成り立つ。
• この結果により、L(Γ) ≇ L(F₂) であり、L(Γ) が自由群因子 F₂ と同型でないことが示される。
• 証明は、Linnell の L² 整域に関する結果と、Elek-Szabó の sofic 群における Lück の行列式予想に関する研究を組み合わせることに依存する。
• 被覆エントロピーの均一な上界を確立する：十分大きな k に対して Kǫ(E(r, p, k, δk)) ≤ (Dp(r + 1)² / ǫ)^{8δ^{1/2}k²} が成り立ち、Dp は p に依存する。