[論文レビュー] The Rank-Width of Edge-Colored Graphs

Mamadou Moustapha Kanté, Rao, Michael|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2007

Advanced Graph Theory Research被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、有限体上の行列表現を用いて、エッジ彩色グラフのための2つの新しいランク幅パラメータ—Fランク幅とFバイランク幅—を導入し、無向グラフのランク幅を一般化する。両パラメータがクライク幅と同等であることを証明し、頂点マイナー除外特徴づけを確立し、固定された幅に対して立方時間の認識アルゴリズムを提供する。これは、無向グラフからエッジ彩色および有向グラフへと、アルゴリズム的および構造的結果を拡張する。

ABSTRACT

Clique-width is a complexity measure of directed as well as undirected graphs. Rank-width is an equivalent complexity measure for undirected graphs and has good algorithmic and structural properties. It is in particular related to the vertex-minor relation. We discuss an extension of the notion of rank-width to edge-colored graphs. A C-colored graph is a graph where the arcs are colored with colors from the set C. There is not a natural notion of rank-width for C-colored graphs. We define two notions of rank-width for them, both based on a coding of C-colored graphs by edge-colored graphs where each edge has exactly one color from a field F and named respectively F-rank-width and F-bi-rank-width. The two notions are equivalent to clique-width. We then present a notion of vertex-minor for F-colored graphs and prove that F-colored graphs of bounded F-rank-width are characterised by a finite list of F-colored graphs to exclude as vertex-minors. A cubic-time algorithm to decide whether a F-colored graph has F-rank-width (resp. F-bi-rank-width) at most k, for fixed k, is also given. Graph operations to check MSOL-definable properties on F-colored graphs of bounded rank-width are presented. A specialisation of all these notions to (directed) graphs without edge colors is presented, which shows that our results generalise the ones in undirected graphs.

研究の動機と目的

• 無向グラフのランク幅の概念を、エッジ彩色グラフ、特にエッジ色なしの有向グラフへと拡張する。
• C色付きグラフに対して自然なランク幅の概念が欠如している問題を解決し、有限体上の行列表現に基づく2つの新しいパラメータを定義する。
• 頂点マイナー不変性や有限除外構成の特徴づけといった、構造的およびアルゴリズム的結果をエッジ彩色グラフへと一般化する。
• 固定されたkに対して、Fランク幅（またはFバイランク幅）が高々kであるかを判定する立方時間の認識アルゴリズムを構築する。
• 新しいグラフ演算を用いて、有界ランク幅のエッジ彩色グラフ上でMSOL定義可能な性質を効率的にモデルチェック可能にする。

提案手法

• 対称行列と反対称行列を一般化するためのσ対称行列を定義し、有限体上のエッジ彩色グラフの行列表現を可能にする。
• 有限体F上でのC色付きグラフの行列表現を定義し、エッジの色を行列の成分に定義する。
• 頂点分割によって誘導される部分行列のランクに基づき、Fランク幅とFバイランク幅を定義し、無向グラフのランク幅を一般化する。
• F色付きグラフのための頂点マイナーおよびピボットマイナー操作を定義し、無向グラフの概念を拡張する。
• 項代数を構築し、行列演算（⊗M1,M2,N1,N2,P1,P2）を用いて、項の値の評価によりグラフを表現する。これにより再帰的構成が可能になる。
• グラフ項の帰納的構成と行列分解を用いて、グラフ演算とランク幅パラメータの間の同等性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランク幅は、特にエッジ色なしの有向グラフを含むエッジ彩色グラフへ意味的に拡張可能か？
• RQ2 提案されたFランク幅とFバイランク幅パラメータは、エッジ彩色グラフにおいてクライク幅と同等か？
• RQ3 有界Fランク幅のグラフは、頂点マイナーの有限集合によって除外可能か？これは無向グラフの結果を一般化する。
• RQ4 固定されたkに対して、Fランク幅（またはFバイランク幅）のための立方時間認識アルゴリズムを構築可能か？
• RQ5 提案された代数的演算を用いて、有界ランク幅のF色付きグラフ上でMSOL定義可能な性質を効率的にチェック可能か？

主な発見

• Fランク幅とFバイランク幅は、エッジ彩色グラフにおいてクライク幅と同等であり、有界ランク幅は有界クライク幅を意味し、逆も成り立つ。
• 有界Fランク幅のF色付きグラフは、有限個の除外頂点マイナーのリストによって特徴づけられ、これは無向グラフの頂点マイナー特徴づけを一般化する。
• 任意の固定されたkに対して、与えられたF色付きグラフがFランク幅（またはFバイランク幅）が高々kであるかを判定する立方時間のアルゴリズムが存在する。
• 本稿は、行列演算（⊗M1,M2,N1,N2,P1,P2）を用いた項代数を構築し、Fランク幅とFバイランク幅を正確に特徴づける。これにより、クライク幅表現への変換なしにMSOLモデルチェックが可能になる。
• 結果は、エッジ色なしの有向グラフに対しても特殊化され、従来の無向グラフのランク幅理論を一般化する。
• 新しい代数的演算を用いることで、有界ランク幅のグラフ上でMSOLモデルチェックを効率的に行うことが可能になり、クライク幅表現への変換を回避できる。