[論文レビュー] The rate of convergence of some asymptotically chi-square distributed statistics by Stein's method

Robert E. Gaunt, Gesine Reinert|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2016

Random Matrices and Applications参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、スティーンの方法を用いて、フリードマンの検定統計量やパワー発散族を含む漸近的にカイ二乗分布に従う統計量の $O(n^{-1})$ 収束速度を導出する。最近の多変量正規分布関数近似理論を拡張することで、一般の境界を確立し、$ lambda$ が正の整数または $ lambda \geq 5$ のとき、任意の $r \geq 2$ の処理群に対して $O(n^{-1})$ 収束を証明する。また、$ lambda \in \mathbb{R}$ 全体に対してこの収束速度が成り立つと予想する。

ABSTRACT

We build on recent works on Stein's method for functions of multivariate normal random variables to derive bounds for the rate of convergence of some asymptotically chi-square distributed statistics. We obtain some general bounds and establish some simple sufficient conditions for convergence rates of order $n^{-1}$ for smooth test functions. These general bounds are applied to Friedman's statistic for comparing $r$ treatments across $n$ trials and the family of power divergence statistics for goodness-of-fit across $n$ trials and $r$ classifications, with index parameter $λ\in\mathbb{R}$ (Pearson's statistic corresponds to $λ=1$). We obtain a $O(n^{-1})$ bound for the rate of convergence of Friedman's statistic for any number of treatments $r\geq2$. We also obtain a $O(n^{-1})$ bound on the rate of convergence of the power divergence statistics for any $r\geq2$ when $λ$ is a positive integer or any real number greater than 5. We conjecture that the $O(n^{-1})$ rate holds for any $λ\in\mathbb{R}$.

研究の動機と目的

• 漸近的にカイ二乗分布に従う統計量の収束速度に関する既存の境界を改善すること。
• スティーンの方法を、フリードマン検定における順位のようなブロック設計統計量における従属する確率変数に拡張すること。
• 滑らかな検定関数の下で $O(n^{-1})$ 収束速度を保証する一般の十分条件を確立すること。
• 非パラメトリック統計量の主要な例であるフリードマンのカイ二乗統計量およびパワー発散族にこの枠組みを適用すること。
• パワー発散族においてすべての $\lambda \in \mathbb{R}$ に対して $O(n^{-1})$ 収束が成り立つと予想すること。

提案手法

• 多変量正規分布に従う確率変数の関数に対するスティーンの方法の最近の変種を用い、統計量とそのカイ二乗極限との距離を評価する。
• 正規化された順位または度数の2次形式として表現可能な統計量、例えば $F_r = \sum_{j=1}^r W_j^2$ および $T_\lambda(\mathbf{W})$ にこの方法を適用する。
• パワー発散統計量を表す関数 $b(\mathbf{w})$ の微分係数に対する境界を導出し、必要な滑らかさクラスに属する $O(1)$ の多項式支配関数の存在を確認する。
• $ lambda \in \mathbb{Z}^+$ および $ lambda \geq 5$ のとき、$T_\lambda(\mathbf{W}) \in C_{Q,n^{-1/2}}^6(\mathbb{R}^r)$ であることを確立し、これにより定理2.6を適用して $O(n^{-1})$ の境界を得る。
• $X_{ij}$ および $W_j$ のモーメントの境界を用いて、スティーン方程式の解における誤差を制御し、最終的な収束速度に至る。
• 複数のカイ二乗統計量の分析を一つの理論的枠組みで統一する一般枠組みを採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スティーンの方法を、フリードマン検定における順位のような従属成分を有する漸近的にカイ二乗分布に従う統計量に対し、$O(n^{-1})$ 収束速度を導出できるように拡張できるか？
• RQ2 多変量正規近似に基づく統計量に対して、$O(n^{-1})$ 収束を保証する関数およびその微分係数に関する一般の条件は何か？
• RQ3 パワー発散族において $O(n^{-1})$ 収束速度はすべての $\lambda \in \mathbb{R}$ に対して成り立つか、それとも特定の値に限るか？
• RQ4 ブロック設計における依存構造は収束速度にどのように影響するか？また、スティーンの方法の枠組み内でこれを取り扱えるか？
• RQ5 非整数 $ lambda$ の場合における微分係数の特異性を含めるために、理論的枠組みを一般化できるか？

主な発見

• 本稿では、任意の $r \geq 2$ の処理群に対して、フリードマン統計量の $O(n^{-1})$ 収束速度を確立する。
• パワー発散族に対しては、$ lambda$ が正の整数または $ lambda \geq 5$ のとき、$O(n^{-1})$ 収束速度が証明される。
• 先行研究よりも弱い条件で $O(n^{-1})$ 収束が成立する一般の十分条件を導出する。
• 既存の $O(n^{(r-1)/r})$ の境界と剰余項の構造に基づき、すべての $ lambda \in \mathbb{R}$ に対して $O(n^{-1})$ 収束が成り立つと予想する。
• 本手法は、ピアソンのカイ二乗統計量やフレイマン＝トゥーキー統計量といった特殊な場合を含む、広範な非パラメトリック統計量に適用可能である。
• この枠組みにより、完全ブロック設計におけるカイ二乗近似の統一的取り扱いが可能となり、既存の文献における境界を改善する。