[論文レビュー] The rational Heun operator and Wilson biorthogonal functions

Satoshi Tsujimoto, Luc Vinet+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2019

Mathematical functions and polynomials参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、アスキーウィルソン格子上での有理関数の型 $[(n-1)/n]$ から $[n/(n+1)]$ へ次数を上げる、最も一般な2階 $q$-差分作用素としての有理ヘン作用素を導入する。この作用素と退化 Ruijsenaars-van Diejen ハミルトニアン $A^{(1)}$ の直接的な関係を確立し、古典的有理ヘン作用素を含む一般化固有値問題の解として、ウィルソン双直交有理関数型 ${}_{10}\text{H}_9$ が解をもつことを示す。

ABSTRACT

We consider the rational Heun operator defined as the most general second-order $q$-difference operator which sends any rational function of type $[(n-1)/n]$ to a rational function of type $[n/(n+1)]$. We shall take the poles to be located on the Askey-Wilson grid. It is shown that this operator is related to the one-dimensional degeneration of the Ruijsenaars-van Diejen Hamiltonians. The Wilson biorthogonal functions of type ${_{10}}Φ_9$ are found to be solutions of a generalized eigenvalue problem involving rational Heun operators of the special "classical" kind.

研究の動機と目的

• アスキーウィルソン格子上での極を持つ有理関数の型 $[(n-1)/n]$ に対する次数上昇性を特徴づけることで、有理ヘン作用素を定義・特徴づけること。
• 有理ヘン作用素と Ruijsenaars-van Diejen ハミルトニアンの1粒子退化 $A^{(1)}$ 間の関係を確立すること。
• 型 ${}_{10} ext{H}_9$ のウィルソン双直交有理関数が、古典的有理ヘン作用素を含む一般化固有値問題の解として同定されること。
• $q$-ヘン作用素の枠組みを直交多項式から有理関数へ拡張し、離散ヘン理論の範囲を広げること。

提案手法

• アスキーウィルソン格子上の極を持つ型 $[(n-1)/n]$ の有理関数に作用する2階 $q$-差分作用素として、有理ヘン作用素 $W$ を定義する。
• 8つのパラメータを用いて作用素を明示的に構成し、有理基底上で三重対角作用する様子を示す。
• 作用素 $W$ が、特定の $ ilde{x}_0$ に極を持つ単純な $[0/1]$ 有理関数の差異を除き、Takemura の $A^{(1)}$ ハミルトニアンと一致することを示し、$A^{(1)}$ を有理関数上の次数上昇作用素として完全に特徴づける。
• 極を $x_1,\dots,x_n$ から $x_2,\dots,x_{n+1}$ へシフトする一方で、有理関数の型 $[n/n]$ を保存する「古典的」有理ヘン作用素の概念を導入する。
• 2つの古典的ヘン作用素 $\hat{\mathcal{W}}$ と $\hat{\mathcal{Y}}$ を含む一般化固有値問題 (GEVP) を定式化し、有理基底 $\omega_n(x)$ が $\hat{\mathcal{W}}$ に対して二重対角基底をなすことを示す。
• 二重対角構造を用いて、GEVP の明示的有理固有解を構成し、型 ${}_{10}\Phi_9$ のウィルソン双直交有理関数が解であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アスキーウィルソン格子上での型 $[(n-1)/n]$ の有理関数を型 $[n/(n+1)]$ へ次数を上げる、最も一般な2階 $q$-差分作用素をどのように定義できるか？
• RQ2 この有理ヘン作用素と退化 Ruijsenaars-van Diejen ハミルトニアン $A^{(1)}$ 間の正確な関係は何か？
• RQ3 型 ${}_{10}\Phi_9$ のウィルソン双直交有理関数が、古典的有理ヘン作用素を含む一般化固有値問題を解くことができることを示せるか？
• RQ4 古典的有理ヘン作用素は、有理関数の型 $[n/n]$ を保存しながら極を $x_1,\dots,x_n$ から $x_2,\dots,x_{n+1}$ へシフトするが、その背後にある代数的構造は何か？
• RQ5 この文脈における一般化固有値問題の解を明示的に構成する際、二重対角基底が果たす役割は何か？

主な発見

• 有理ヘン作用素は、アスキーウィルソン格子上の極を持つ有理関数に作用する2階 $q$-差分作用素として完全に特徴づけられ、8つのパラメータを持ち、有理基底上で三重対角作用する。
• 作用素 $W$ が Takemura の $A^{(1)}$ ハミルトニアンと、指定された $ ilde{x}_0$ に極を持つ単一の $[0/1]$ 有理関数の差異を除き一致することを示し、$A^{(1)}$ が有理関数上の次数上昇作用素として完全に特徴づけられた。
• 極を $x_1,\dots,x_n$ から $x_2,\dots,x_{n+1}$ へシフトする一方で、有理関数の型 $[n/n]$ を保存する「古典的」有理ヘン作用素が定義され、有理基底 $\omega_n(x)$ に対して三重対角作用する。
• 一般化固有値問題 $\hat{\mathcal{W}}R_n(x) = \lambda_n \hat{\mathcal{Y}}R_n(x)$ は明示的に解かれ、$R_n(x)$ は型 ${}_{10}\Phi_9$ のウィルソン双直交有理関数であり、$\hat{\mathcal{W}}$ の二重対角構造が導出された。
• 古典的ヘン作用素 $\hat{\mathcal{W}}$ の固有値 $\mu_n$ と $\nu_n$ はパラメータ $\varepsilon_j$ の関数として明示的に計算され、基底 $\omega_n(x)$ における二重対角作用が確認された。
• 一般化固有値問題は、$\varepsilon_j \to \delta_j$ のパラメータ置換（ただし $\varepsilon_1 = \delta_1$, $\varepsilon_{23456} = \delta_{23456}$）により $\hat{\mathcal{Y}}$ が $\hat{\mathcal{W}}$ から得られるとき、明示的な有理固有解をもつことが示され、基底 $\omega_n(x)$ が $\hat{\mathcal{W}}$ と $\hat{\mathcal{Y}}$ の両方と共通して用いられることを示した。