[論文レビュー] The real loci of Calogero-Moser spaces, representations of rational Cherednik algebras and the Shapiro conjecture

Iain J. Gordon, Emil Horozov+1 more|ArXiv.org|Nov 27, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、有理チャレドニク代数 $ H_{0,1}(S_n) $ の既約表現の実性に関する基準を確立し、特定の部分空間上で生成子 $ x_1 $ と $ y_1 $ が実固有値しか持たない場合、その表現は実表現の複素化であることを示している。これにより、カロゲロ–モーザー空間の実軌道の特徴付けが得られ、KP階層および双スペクトル波関数との関連を通じて、グラスマンニアンにおけるシャピロ予想の新しい証明が得られる。

ABSTRACT

We prove a criterion for the reality of irreducible representations of the rational Cherednik algebras H_{0,1}(S_n). This is shown to imply a criterion for the real loci of the Calogero-Moser spaces C_n in terms of the Etingof-Ginzburg finite maps Υ\colon C_n o C^n/S_n imes C^n/S_n, recovering a result of Mikhin, Tarasov, and Varchenko [MTV2]. As a consequence we obtain a criterion for the real locus of the Wilson's adelic Grassmannian of rank one bispectral solutions of the KP hierarchy. Using Wilson's first parametrisation of the adelic Grassmannian, we give a new proof of a result of [MTV2] on real bases of spaces of quasi polynomials. The Shapiro Conjecture for Grassmannians is equivalent to a special case of our result for Calogero-Moser spaces, namely for the fibres of Υover C^n/S_n imes 0.

研究の動機と目的

• 有理チャレドニク代数 $ H_{0,1}(S_n) $ の既約表現が実であるための条件を、生成子の固有値条件に基づいて確立すること。
• Etingof–Ginzburg の有限写像 $ \Upsilon: C_n \to \mathbb{C}^{(n)} \times \mathbb{C}^{(n)} $ を用いて、カロゲロ–モーザー空間 $ C_n $ の実軌道 $ RC_n $ を特徴付けること。
• KP階層およびタウ関数との関連を通じて、グラスマンニアンにおけるシャピロ予想を新しい方法で証明すること。
• ウィルソンのアデール的グラスマンニアンにおけるランク1の双スペクトル解の実軌道の異なる定義が同値であることを示すこと。
• カロゲロ–モーザー空間の幾何学およびKP階層を用いて、準多項式空間の実基底のための基準を導出すること。

提案手法

• 有理チャレドニク代数 $ H_{0,1}(S_n) $ の表現論、特に $ x_1 $ と $ y_1 $ が $ n $ 次元部分空間 $ \overline{e}V $ に作用する様子を用いて、$ C_n $ への写像を定義する。
• 生成子 $ x_i, y_i $ と $ S_n $ によって生成される実部分代数 $ H_{0,1}^\mathbb{R}(S_n) $ を定義し、実表現の研究を可能にする。
• Etingof–Ginzburg の有限写像 $ \Upsilon: C_n \to \mathbb{C}^{(n)} \times \mathbb{C}^{(n)} $（ここで $ \mathbb{C}^{(n)} = \mathbb{C}^n / S_n $）を用いて、固有値条件と実軌道の関係を結びつける。
• ウィルソンによるアデール的グラスマンニアン $ \mathrm{Gr}^{\mathrm{ad}} $ の $ \gamma $ および $ \beta $ 写像によるパラメトライゼーションを用い、カロゲロ–モーザーのデータとKP階層のタウ関数を結びつける。
• 指数関数のWronskian $ \mathrm{Wr}(e^{\mu_i x} V_i) $ と行列 $ X $ の特性多項式の関係を示し、$ \chi_X(-x) = \pm \mathrm{Wr}(e^{\mu_i x} V_i) $ を得る。
• 主定理を適用して、Wronskian がすべて実根を持ち、$ \mu_i \in \mathbb{R} $ であれば、部分空間 $ V_i $ は実係数多項式の基底を持つことを示し、この場合にシャピロ予想を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理チャレドニク代数 $ H_{0,1}(S_n) $ の既約表現が、実表現の複素化であるための条件は何か？
• RQ2 生成子 $ X $ と $ Z $ の固有値を用いて、カロゲロ–モーザー空間 $ C_n $ の実軌道 $ RC_n $ をどのように特徴付けられるか？
• RQ3 Wronskian $ \mathrm{Wr}(e^{\mu_i x} V_i) $ の実性と、部分空間 $ V_i \subset \mathbb{C}[x] $ が実係数基底を持つことの間の明確な関係は何か？
• RQ4 ウィルソンのアデール的グラスマンニアン $ \mathrm{Gr}^{\mathrm{ad}} $ における実軌道の異なる定義（実行列、実タウ関数、実波関数）がどのように同値であるか？
• RQ5 シャピロ予想は、主定理の特別な場合 $ \Upsilon^{-1}(\mathbb{R}^{(n)} \times 0) \subset RC_n $ とどの程度同等か？

主な発見

• 有理チャレドニク代数 $ H_{0,1}(S_n) $ の既約表現 $ V $ が実表現の複素化であるための必要十分条件は、$ x_1|_{\overline{e}V} $ と $ y_1|_{\overline{e}V} $ がすべて実固有値を持つことである。
• 実軌道 $ RC_n \subset C_n $ は、$ \Upsilon^{-1}(\mathbb{R}^{(n)} \times \mathbb{R}^{(n)}) $ を含み、これはムキン、タラソフ、ヴァルチェンコの結果を回復する。
• ウィルソンのアデール的グラスマンニアン $ \mathrm{Gr}^{\mathrm{ad}} $ の実軌道は、タウ関数 $ \tau_W(x,0,\ldots) $ 及びその双スペクトル双対の根が実であることによって特徉付けることができる。
• シャピロ予想は、$ \Upsilon^{-1}(\mathbb{R}^{(n)} \times 0) \subset RC_n $ であるという主張と同値であり、主定理により証明される。
• Wronskian $ \mathrm{Wr}(e^{\mu_1 x} V_1, \dots, e^{\mu_k x} V_k) $ がすべて実根を持ち、$ \mu_i $ が実かつ相異なる場合、各 $ V_i $ は実係数多項式の基底を持つ。
• シュール関数に関して、$ s_\lambda(x + c_1, \dots, c_N) $ がすべて実根を持つならば、すべての $ c_i \in \mathbb{R} $ であり、KP階層の多項式タウ関数の実根性に関する基準が得られる。