[論文レビュー] The Real-rootedness of Eulerian Polynomials via the Hermite--Biehler Theorem

Arthur L. B. Yang, Philip B. Zhang|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2015

Holomorphic and Operator Theory参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、Hermite--Biehler定理とBorcea--Brändénの安定性基準を用いて、型$D_n$のオイラー多項式および型$B_n$のアフィンオイラー多項式の実根性を確立する。特定の変換多項式が弱いHurwitz安定であることを証明することで、安定性に基づく間隔性議論により、ハイアットの半オイラー多項式の間隔性に関する予想を確認する。

ABSTRACT

Based on the Hermite--Biehler theorem, we simultaneously prove the real-rootedness of Eulerian polynomials of type $D$ and the real-rootedness of affine Eulerian polynomials of type $B$, which were first obtained by Savage and Visontai by using the theory of $\\mathbf{s}$-Eulerian polynomials. We also confirm Hyatt's conjectures on the interlacing property of half Eulerian polynomials. Borcea and Br\\"and\\'en's work on the characterization of linear operators preserving Hurwitz stability is critical to this approach.

研究の動機と目的

• s-オイラー多項式を用いない安定性理論を用いて、$D_n(x)$および$\tfrac{B}_n(x)$の実根性の新しい証明を提供すること。
• ハイアットの半オイラー多項式$B_n^+(x)$および$D_n^+(x)$とその逆数変換との間隔性に関する予想を確認すること。
• 型$B$、$D$のオイラー多項式およびそれらのアフィン版の実根性を、共通の安定性枠組みを通じて統一的に取り扱うこと。
• Hermite--Biehler定理とHurwitz安定性を用いて、符号付き置換統計量の実根性との間に接続を確立すること。

提案手法

• Hermite--Biehler定理を適用し、関連多項式の弱いHurwitz安定性とオイラー多項式の実根性との関係を確立する。
• BorceaとBrändénによる線形作用素がHurwitz安定性を保つための特徴づけを用いて、重要な母関数の安定性を分析する。
• Routh--Hurwitz基準を用いて、$(x+1)A_{n-1}(x) + kx A_{n-2}(x)$の形をした多項式の安定性を評価する。特に$k = -n$の場合を対象とする。
• 生成関数と対合対称性を用いて、$B_n^+(x)$、$D_n^+(x)$および古典的オイラー多項式を結ぶ関数的恒等式を導出する。
• $(x+1)^n A_{n-1}(x)$の偶数次部分が$B_n^+(x)$および$D_n^+(x)$であるという事実を活用し、多項式の安定性を半多項式へと伝播させる。
• 対称性$x^n B_n^+(1/x) = B_n^-(x)$および$x^n D_n^+(1/x) = D_n^-(x)$を用いて、間隔性の問題を全生成関数の安定性へと還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 s-オイラー多項式の細分化を用いない安定性理論的手法により、$D_n(x)$および$\tfrac{B}_n(x)$の実根性を証明できるか？
• RQ2 半オイラー多項式$B_n^+(x)$および$D_n^+(x)$は、それぞれの逆数変換$x^n B_n^+(1/x)$および$x^n D_n^+(1/x)$と間隔性を示すか？
• RQ3 多項式$(x+1)A_{n-1}(x) + kx A_{n-2}(x)$がHurwitz安定性を保つような$k$の範囲は何か？
• RQ4 $(x+1)A_{n-1}(x) - nx A_{n-2}(x)$の安定性と半オイラー多項式の間隔性の性質との間に、より深い関係があるか？

主な発見

• 多項式$(x+1)^n A_{n-1}(x) - n x (x+1)^{n-1} A_{n-2}(x)$は弱いHurwitz安定である。これにより、Hermite--Biehler定理を用いて$D_n(x)$および$\tfrac{B}_n(x)$の実根性が示される。
• ハイアットの予想(i)が確認された：$B_n^+(x)$は$x^n B_n^+(1/x)$と間隔性を示す。したがって$B_n(x) = B_n^+(x) + x^n B_n^+(1/x)$はすべての根が実数である。
• ハイアットの予想(ii)が確認された：$D_n^+(x)$は$x^n D_n^+(1/x)$と間隔性を示す。したがって$D_n(x) = D_n^+(x) + x^n D_n^+(1/x)$はすべての根が実数である。
• 恒等式$B_n^+(x^2) + \frac{1}{x} B_n^-(x^2) = (x+1)^n A_{n-1}(x)$が成り立ち、型$B$の半オイラー多項式が古典的オイラー多項式と関連づけられる。
• 恒等式$D_n^+(x^2) + \frac{1}{x} D_n^-(x^2) = (x+1)^n A_{n-1}(x) - n x (x+1)^{n-1} A_{n-2}(x)$は、型$D$の半多項式がオイラー多項式の安定な組み合わせと関連づけられることを示す。
• 予想を提示する：$(x+1)A_{n-1}(x) + kx A_{n-2}(x)$は、$k > -2E_n / E_{n-1}$のときかつそのときに限りHurwitz安定である。ここで$E_n$は$n$番目のオイラーの上下数である。