[論文レビュー] The recurrence time in quantum mechanics

Lorenzo Campos Venuti|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2015

Quantum Mechanics and Applications参考文献 2被引用数 28

ひとこと要約

本稿では、一般の非可積分量子系における再帰時間の本質的に正確な計算を提供し、系の体積に対して二重指数的（doubly exponential）にスケーリングすることを示している。これはエネルギースケールと有効次元によって支配される。可積分系では再帰時間は体積に対して指数的であり、量子臨界点付近での小さなクイエンチにより、再帰時間はほぼサイズに依存せず、実験的に観測可能な水準にまで短縮される。

ABSTRACT

Generic quantum systems --as much as their classical counterparts-- pass arbitrarily close to their initial state after sufficiently long time. Here we provide an essentially exact computation of such recurrence times for generic non-integrable quantum models. The result is a universal function which depends on just two parameters, an energy scale and the effective dimension of the system. As a by-product we prove that the density of orthogonalization times is zero if at least nine levels are populated and connections with the quantum speed limit are discussed. We also extend our results to integrable, quasi-free fermions. For generic systems the recurrence time is generally doubly exponential in the system volume whereas for the integrable case the dependence is only exponential. The recurrence time can be decreased by several orders of magnitude by performing a small quench close to a quantum critical point. This setup may lead to the experimental observation of such \emph{fast} recurrences.

研究の動機と目的

• 一般の非可積分量子系における平均再帰時間の本質的に正確な式を導出すること。
• 再帰時間が系のサイズ、エネルギースケール、有効ヒルベルト空間次元にどのように依存するかを理解すること。
• 特に量子臨界点付近での小さなクイエンチが再帰時間を劇的に短縮できるかどうかを調査すること。
• 可積分的・準自由フェルミオン系に一般化し、再帰ダイナミクスを比較すること。
• イオントラップなどの量子プラットフォームで、このような高速再帰が実験的に観測可能となる条件を同定すること。

提案手法

• 初期状態と時間発展状態との重なりを用いて、再帰時間をFidelity崩壊形式により計算する。
• エネルギースケール $ J $ と有効次元 $ d_{\text{eff}} $ の2パラメータ関数を普遍的に適用し、$ T_R \sim (\hbar/J)e^{ue^{S}} $ と表される。ここで $ S $ はフォン・ノイマンエントロピーである。
• 非可積分系の再帰時間スケーリングを、体積に関して二重指数的と導出する：$ T_R \sim e^{ue^{\alpha V}} $。
• 可積分系では、次近接相互作用を含む1次元横磁場イジング模型の厳密解を用いてFidelityと再帰時間を計算する。
• パラメータをわずかに変更する小さなクイエンチプロトコルを導入し、有効ヒルベルト空間次元を低下させ、結果として再帰時間を短縮する。
• 系の相関長 $ \xi(\lambda_i) \gg L $ の臨界定常領域を分析し、再帰時間がほぼサイズに依存せず、実験的に観測可能になることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の非可積分量子系において、再帰時間が系のサイズとエネルギースケールにどのように正確に依存するか？
• RQ2 非可積分系と可積分系の量子モデルにおける再帰時間の違いは何か？
• RQ3 量子臨界点付近での小さなクイエンチが再帰時間を顕著に短縮できるか？そのメカニズムは何か？
• RQ4 有効ヒルベルト空間次元が再帰時間のスケーリングに果たす役割は何か？
• RQ5 孤立系における再帰時間が、どのような条件下で実験的に観測可能になるか？

主な発見

• 一般の非可積分量子系では、再帰時間が系の体積に関して二重指数的にスケーリングする：$ T_R \sim (\hbar/J)e^{ue^{\alpha V}} $、ここで $ \alpha > 0 $ である。
• 再帰時間は $ T_R \sim (\hbar/J)e^{ue^{S}} $ でよく近似され、$ S $ は平衡状態のフォン・ノイマンエントロピーである。
• 可積分系、例えば1次元横磁場イジング模型では、再帰時間が体積に対して指数的にスケーリングする。
• 量子臨界点付近での小さなクイエンチにより、有効ヒルベルト空間次元が $ \sim 2-3 $ にまで低下し、再帰時間がほぼサイズに依存しなくなる。
• 小さなクイエンチ後の再帰時間は $ T_R \sim e^{u\delta\lambda^2 cV} $ とスケーリングし、数個のオーダーも短縮可能になる。
• TAMハミルトニアンの数値シミュレーションにより、特に非可積分系の場合、量子臨界点付近で再帰時間が急激に減少することが確認された。