[論文レビュー] The Rees Algebra for Certain Monomial Curves

Debasish Mukhopadhyay, Indranath Sengupta|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2010

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、4つの互いに素な整数からなる最小の等差数列によってパラメトライズされる単項曲線のリース代数の定義方程式を、グレブナー基底技法と消去理論を用いて明示的に計算する。また、ブ lowup スキーム ${\rm Proj}\,R[\wp t]$ が滑らかでないことを証明し、完備体上でのフレンチャの予想を肯定的に確認する。

ABSTRACT

In this article, we find the equations defining the Rees algebra for certain Monomial Curves explicitly and use them to prove that the blowup scheme is not smooth. This proves a conjecture of Francia in affirmative, which says that a dimension one prime in a regular local ring is a complete intersection if it has a smooth blowup.

研究の動機と目的

• 4つの互いに素な整数からなる最小の等差数列によって定義される単項曲線のリース代数 $R[\wp t]$ の定義方程式を明示的に決定すること。
• 完備体上でのヤコビアン基準を用いて、ブローダウンスキーム ${\rm Proj}\,R[\wp t]$ の滑らかさを調査すること。
• 正則局所環における次元1の素イデアルがそのブローダウンが滑らかであれば完全交差である、というフレンチャの予想を、このクラスの単項曲線に対して検証すること。
• 対称代数を超える非自明な関係の存在を示すことにより、リース代数が線型型でないことを示すこと。
• 多項式環における単項イデアルのブローダウン代数を分析するための計算フレームワークを、グレブナー基底と消去順序を用いて提供すること。

提案手法

• 消去順序を用いた消去定理を適用し、写像 $\varphi: R[T_1,T_2,T_3,T_4] \to R[\wp t]$ が $T_i \mapsto X_i t$ を与えるとき、リース代数 $R[\wp t]$ の定義イデアル $E = \ker(\varphi)$ を計算する。
• パラメトライズ $X_i = T^{m_i}$ から得られる生成元のサイジィとS多項式を分析することで、イデアル $E$ のグレブナー基底を構成する。
• リース代数内の関係を記述するためのキーポリノミアル $A(i;b,j)$, $B(i,j)$, $D$, $L(i)$, $Q(b,i)$ および $\Psi$, $\Phi$-関数を定義する。
• 各点における滑らかさのテストとして、同次素イデアル $\mathfrak{P}_b$ に関するヤコビアン基準を適用する。
• $\mathfrak{P}_b$ を法とするヤコビアン行列 $\mathcal{J}_{\mathfrak{P}_b}$ のランクを分析し、局所化された環が正則であるかどうかを判定する。
• マラウ-センギュプタによって確立されたように、$\wp$ が完全交差でないことを用いて、イデアルが完全交差でなければブローダウンは滑らかでないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4項の等差数列で表される互いに素な整数によってパラメトライズされる単項曲線のリース代数 $R[\wp t]$ の明示的定義方程式は何か？
• RQ2 完備体上でのブローダウンスキーム ${\rm Proj}\,R[\wp t]$ は滑らかか？
• RQ3 ブローダウンの滑らかでなさは、イデアル $\wp$ が完全交差でないことを示唆するか？
• RQ4 このような単項曲線のリース代数は、消去理論を用いたグレブナー基底計算によって記述可能か？
• RQ5 フレンチャの予想は、最小の等差数列によって定義される $\mathbb{A}^4$ 内の単項曲線に対しても成り立つか？

主な発見

• リース代数 $R[\wp t]$ は、多項式 $A(i;b,j)$, $L(i)$, $Q(b,i)$, $D$ および関連する $\Psi$, $\Phi$-関数からなるグレブナー基底によって明示的に記述される。
• ヤコビアン基準により、ブローダウンスキーム ${\rm Proj}\,R[\wp t]$ は滑らかでないことが示された。$\mathfrak{P}_b$ を法とするヤコビアン行列のランクが、各点における局所環の次元より小さいためである。
• $b=1$ の場合、ヤコビアンのランクは3。$b=2$ の場合、ランクは2。$b=3=0$ の場合、ランクは0であり、すべての3点に特異点があることが示された。
• 局所化された環 $(R_b/E_b)_{\mathfrak{P}_b}$ は $\mathfrak{P}_b$ で正則でないため、${\rm Proj}\,R[\wp t]$ は滑らかでないことが証明された。
• イデアル $\wp$ は完全交差ではなく、ブローダウンも滑らかでないため、このクラスの曲線に対してフレンチャの予想が肯定的に確認された。
• リース代数は線型型でない。$\mathcal{A} = E/E_1 \neq 0$ であるため、対称代数を超える非自明な関係が存在する。