[論文レビュー] The refined analytic torsion and a well-posed boundary condition for the odd signature operator

Rung-Tzung Huang, Yoonweon Lee|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2010

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ひとこと要約

本稿は、境界を有する奇数次元コンpact Riemann多様体上の奇数性の作用素に対して、2つの補完的で適切に定義された境界条件を導入し、この設定において精緻な解析 torsion の定義を可能にする。torsion が Agmon 角の選択に依存せず、内部での計量変更に対して不変であることが示され、zeta-行列式と eta-不変量を用いた熱核漸近展開を通じて、境界を有する多様体における解析 torsion 框架の拡張が達成される。

ABSTRACT

In this paper we discuss the refined analytic torsion on an odd dimensional compact oriented Riemannian manifold with boundary under some assumption. For this purpose we introduce two boundary conditions which are complementary to each other and well-posed for the odd signature operator $\mathcal{B}$ in the sense of Seeley. We then show that the zeta-determinants of $\mathcal{B}^2$ and eta-invariants of $\mathcal{B}$ subject to these boundary conditions are well defined by using the method of the asymptotic expansions of the traces of the heat kernels. We use these facts to define the refined analytic torsion on a compact manifold with boundary and show that it is invariant on the change of metrics in the interior of the manifold. We finally describe the refined analytic torsion under these boundary conditions as an element of the determinant line.

研究の動機と目的

• 境界を有する奇数次元コンpact Riemann多様体上で、標準的境界条件が解析 torsion および eta 不変量の両方で失敗する状況において、精緻な解析 torsion を定義すること。
• Seeley の意味で適切に定義された奇数性の作用素 $\mathcal{B}$ に対して、2つの補完的境界条件を構成し、スペクトル的および解析的性質の良好さを保証すること。
• 熱核漸近展開を用いて、これらの境界条件下で $\mathcal{B}^2$ の zeta-行列式および $\mathcal{B}$ の eta-不変量が適切に定義されることを示すこと。
• 精緻な解析 torsion が多様体内部における計量変形に対して不変であることを証明すること。
• 精緻な解析 torsion をコhomology の行列式ラインの要素として記述し、閉多様体の場合への一般化を行うこと。

提案手法

• 境界上のHodge分解とシンプレクティック構造に基づき、$\mathcal{P}_{-, L_0}$ および $\mathcal{P}_{+, L_1}$ という2つの境界条件を導入し、奇数性の作用素 $\mathcal{B}$ に対して適切に定義されることを保証する。
• 熱核トレースの漸近展開法を用いて、これらの境界条件下で $\mathcal{B}^2$ の zeta-行列式および $\mathcal{B}$ の eta-不変量を定義する。
• スペクトル的性質を確立し、$\mathcal{B}^2$ および $\mathcal{B}$ が実軸に近い小さな領域に除き有限個の固有値を除いてスペクトルを持つことを示し、zeta 関数および eta 関数の正則化を可能にする。
• 境界条件下で誘導されるコチェーン複体 (1.1) が、Poincaré双対性を満たすことを示し、位相的双対性と整合性を保証する。
• zeta 正則化行列式と eta 不変量の積として精緻な解析 torsion を定義し、連続性および位相的不変性を用いて Agmon 角への依存性の不在を示す。
• 内部での計量の連続的変形に対して torsion が不変であることを証明する。これは、核次元の位相的不変性および eta 不変量の連続的依存性に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的境界条件（APS、絶対/相対）が解析 torsion および eta 不変量の両方で失敗する状況において、境界を有するコンpact Riemann多様体上で精緻な解析 torsion を一貫して定義できるか？
• RQ2 奇数性の作用素 $\mathcal{B}$ に対して、Seeley の意味で適切に定義され、かつ Ray-Singer の解析 torsion および eta 不変量と両立する境界条件は何か？
• RQ3 新しい境界条件下で $\mathcal{B}^2$ の zeta-行列式および $\mathcal{B}$ の eta-不変量は適切に定義されるか？
• RQ4 精緻な解析 torsion は zeta 関数および eta 関数の Agmon 角の選択に依存しないか？
• RQ5 精緻な解析 torsion は多様体内部における計量の連続的変形に対して不変か？

主な発見

• 精緻な解析 torsion $\rho_{an,\widetilde{\mathcal{P}}_0}(g^M,\nabla)$ および $\rho_{an,\widetilde{\mathcal{P}}_1}(g^M,\nabla)$ は、zeta 関数および eta 関数の Agmon 角の選択に依存しない。
• $\mathcal{P}_{-, L_0}$ および $\mathcal{P}_{+, L_1}$ という新しい境界条件下で、熱核漸近展開を用いて $\mathcal{B}^2$ の zeta-行列式および $\mathcal{B}$ の eta-不変量が適切に定義される。
• 精緻な解析 torsion は多様体 $M$ 内部における計量の連続的変形に対して不変である。これは、$\mathcal{B}^{\text{trivial}}_{\text{even}}$ の核次元が位相的不変量であり、eta 不変量が連続的に変化するからである。
• 境界条件下で誘導されるコチェーン複体 (1.1) は、$\mathcal{P}_{-, L_0}\Gamma^Y = \Gamma^Y\mathcal{P}_{+, L_1}$ および $\mathcal{B}_{\mathcal{P}_{-, L_0}}\Gamma = \Gamma\mathcal{B}_{\mathcal{P}_{+, L_1}}$ という対称性関係によって、Poincaré双対性を満たす。
• 接続 $\nabla$ がHermitian接続であるとき、精緻な解析 torsion の Ray-Singer 範囲は 1 である。$\|\rho_{\widetilde{\mathcal{P}}_{0},[0,\lambda]}\|_\lambda = 1$ であり、高周波数部における zeta 正則化行列式によって torsion 範囲が正規化される。
• 精緻な解析 torsion は、閉多様体の場合の一般化として、コhomology の行列式ライン $\operatorname{Det}(H^\bullet(M,E))$ の要素として記述される。