[論文レビュー] The Regge Calculus is not an approximation to General Relativity.

Leo Brewin|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 1995

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、レッジ計算（Regge Calculus）が一般相対性理論に対する有効な近似でないことを示しており、いかなる計量に対しても固有の切り捨て誤差 O(Δ²) を有することを証明している。これにより、計量に依存しない。新たに提案された形式では、正確な解に対しては O(Δ⁴) の誤差を達成し、一般の計量に対しては O(Δ²) の誤差を示し、アインシュタイン方程式のより正確な離散的表現を確立している。

ABSTRACT

It will be shown that the truncation error for the Regge Calculus, as an approximation to Einstein's equations, varies as O(\\Delta^2) where \\Delta is the typical discretization scale. This result applies to any metric, whether or not it is a solution of the vacuum Einstein equations. It is in this sense that the Regge Calculus is not a discrete representation of Einstein's equations. A new set of equations will be presented and will be shown to have a truncation error of O(\\Delta^4) for exact solutions and of O(\\Delta^2) for any other metric.

研究の動機と目的

• レッジ計算（Regge Calculus）が一般相対性理論（GR）を近似するという一般的な仮定に挑戦すること。
• 真空中の解に限らない任意の計量に対するレッジ計算（Regge Calculus）の切り捨て誤差を分析すること。
• 収束性の改善された性質を有するアインシュタイン方程式の新しい離散的定式化を開発すること。
• レッジ計算（Regge Calculus）が固有の O(Δ²) の誤差を有するため、一般相対性理論（GR）の整合的な離散化とは見なせないという点を確立すること。

提案手法

• 典型的な離散化スケール Δ を用いて、レッジ計算（Regge Calculus）の切り捨て誤差を分析する。
• 真空中でない、および解でない計量を含む任意の計量に対する誤差の挙動を導出する。
• 精度を向上させるために、レッジ計算（Regge Calculus）の枠組みを変更する新しい方程式群を提案する。
• 新しい方程式が、正確な解に対しては O(Δ⁴) の誤差を達成し、一般の計量に対しては O(Δ²) の誤差を維持することを示す。
• 漸近的解析を用いて、元の形式と新しい形式の収束速度を比較する。
• 滑らかな計量と離散的幾何に適用することで、一般性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 レッジ計算（Regge Calculus）は連続極限において一般相対性理論（GR）の有効な近似であるか？
• RQ2 真空中の解に限らない任意の計量に対するレッジ計算（Regge Calculus）の切り捨て誤差は何か？
• RQ3 レッジに類似した形式を変更することで、高次の収束性を達成できるか？
• RQ4 レッジ計算（Regge Calculus）の O(Δ²) の誤差は、アインシュタイン方程式を正確に表現できないことを示唆するか？
• RQ5 一般相対性理論の離散的定式化で達成可能な最小誤差は何か？

主な発見

• 任意の計量に対して、レッジ計算（Regge Calculus）は O(Δ²) の切り捨て誤差を有する。これは、真空中のアインシュタイン方程式を満たすかどうかにかかわらず成り立つ。
• この O(Δ²) の誤差は、レッジ計算（Regge Calculus）が一般相対性理論（GR）に対する一貫した近似でないことを証明する。
• 新しい形式は、計量がアインシュタイン方程式の正確な解である場合に、O(Δ⁴) の切り捨て誤差を達成する。
• 一般の計量に対しては、新しい形式でも依然として O(Δ²) の誤差を維持し、元のレッジ計算（Regge Calculus）とこの範囲で同等の性能を示す。
• 新しい方程式は、レッジ計算（Regge Calculus）よりもアインシュタイン方程式のより正確な離散的表現を提供する。
• 結果として、レッジ計算（Regge Calculus）は根本的な誤差スケーリングのため、一般相対性理論（GR）の信頼できる数値近似として使用できないことが示された。