[論文レビュー] The Regular C*-algebra of an Integral Domain

Joachim Cuntz, Xin Li|ArXiv.org|Jul 9, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 6被引用数 39

ひとこと要約

本稿は、有限な剰余類を持つ任意の整域 $R$ に関連する普遍的 C*-代数 $ \mathfrak{A}[R]$ を導入し、それが純粋に無限大かつ単純であることを証明する。$ \mathfrak{A}[R]$ の安定化が、$R$ の有限アデール空間上の連続関数と $Q(R)$ 上の $ax+b$-群による半群作用による半順序積に同型であることが示され、Bost-Connes 構成が任意の数体に一般化され、一般化された Bost-Connes 代数の生成子と関係による記述が得られる。

ABSTRACT

To each integral domain R with finite quotients we associate a purely infinite simple C*-algebra in a very natural way. Its stabilization can be identified with the crossed product of the algebra of continuous functions on the "finite adele space" corresponding to R by the action of the ax+b-group over the quotient field Q(R). We study the relationship to generalized Bost-Connes systems and deduce for them a description as universal C*-algebras with the help of our construction.

研究の動機と目的

• 任意の有限な剰余類を持つ整域 $R$ に対して、純粋に無限大かつ単純な C*-代数 $\mathfrak{A}[R]$ を構成し、Cuntz の以前の研究における $\mathcal{Q}_{\mathbb{Z}}$ および $\mathcal{Q}_{\mathbb{N}}$ 代数を一般化すること。
• 生成子 $s_m$（等長作用素）とユニタリ $u^n$ を用いた関係式を介して、$\mathfrak{A}[R]$ の普遍的記述を提供し、$\ell^2(R)$ 上での乗法的および加法的作用を反映すること。
• 安定化 $\mathfrak{A}(R)$ の半順序積構造を確立し、$\mathbb{A}_f^{(R)}$ を $R$ の有限アデール空間、$\mathrm{P}_R$ を $Q(R)$ 上の $ax+b$-半群とするとき、$C_0(\mathbb{A}_f^{(R)}) \rtimes \mathrm{P}_R$ に同型であると特定すること。
• 虚二次体および一般の数体に対して以前に研究された高次元 Bost-Connes システムが、高々1つの実埋め込みと類数1という条件下で $\mathfrak{A}[R]$ に埋め込まれることを示すこと。
• 一般化された Bost-Connes 代数の生成子と関係による記述を導出し、元の Bost-Connes の場合と同様に、作用素論的技法を用いてその極端な $KMS_\beta$-状態を構成すること。

提案手法

• 生成子 $s_m$（$m \in R^\times$）とユニタリ $u^n$（$n \in R$）からなる普遍的 C*-代数 $\mathfrak{A}[R]$ を定義し、乗法、加法、分配法則を反映する関係式を満たすようにする。
• $\ell^2(R)$ 上での左正則作用素による具体的な表現を構成する：$S_m(\xi_r) = \xi_{mr}$ および $U^n(\xi_r) = \xi_{n+r}$ であり、これらは普遍的関係を実現する。
• $ax+b$-半群 $P_R = \left\{ \begin{smallmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{smallmatrix} \right\}_{a \in R^\times, b \in R}$ を用いて、$\mathbb{A}_f^{(R)}$（$R$ の有限アデール空間）への作用をモデル化する。$\mathbb{A}_f^{(R)}$ は $R$ のプロファイント完備化 $\hat{R}$ として同定される。
• トポロジカル双対性と陪集合空間の構造を用いて、$\mathfrak{A}(R)$（$\mathfrak{A}[R]$ の安定化）と $C_0(\mathbb{A}_f^{(R)}) \rtimes P_R$ 間の $*$-同型を確立する。
• Laca の半群による半順序積の理論と最小自己同型拡張を活用し、半順序積構造を $C_0(\mathbb{A}_f / \sim) \rtimes K^\times / \mathfrak{o}^*$ に特定する。ここで $\sim$ は単数群によって誘導される同値関係である。
• $\mathfrak{A}[R]$ の $*$-表現 $\pi_\alpha$ を、$\ell^2(\mathfrak{o}^\times / \sim_{\mathfrak{o}^*})$ 上に構成し、$\mathrm{Gal}(K^{ab}/K)$ の元によってインデックス付けする。状態は $\varphi_{\beta,\alpha}(x) = \zeta(\beta)^{-1} \mathrm{tr}(\pi_\alpha(x) e^{-\beta H})$ により定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Cuntz の $\mathcal{Q}_{\mathbb{Z}}$ および $\mathcal{Q}_{\mathbb{N}}$ の構成を $\mathbb{Z}$ から有限な剰余類を持つ任意の整域に一般化できるか？
• RQ2 有限な剰余類を持つ $R$ に関連する普遍的 C*-代数 $\mathfrak{A}[R]$ は純粋に無限大かつ単純であるか？また、その安定化は $R$ の有限アデール空間上の半順序積として記述できるか？
• RQ3 類数1かつ高々1つの実埋め込みを満たす数体の一般化された Bost-Connes システムが $\mathfrak{A}[R]$ に埋め込まれるための数論的条件は何か？
• RQ4 一般化された Bost-Connes 代数は、普遍的 $\mathfrak{A}[R]$ の構成を用いて生成子と関係式で記述可能か？
• RQ5 一般化された Bost-Connes 動的系の極端な $KMS_\beta$-状態は、普遍的 $\mathfrak{A}[R]$ 構造を自然に用いた作用素論的手段で構成可能か？

主な発見

• 有限な剰余類を持つ整域 $R$ に対する普遍的 C*-代数 $\mathfrak{A}[R]$ は純粋に無限大かつ単純であり、Cuntz の $\mathbb{Z}$ に関する結果を広範な環のクラスにまで拡張する。
• $\mathfrak{A}[R]$ の安定化 $\mathfrak{A}(R)$ は、$\mathbb{A}_f^{(R)}$ を $R$ の有限アデール空間、$P_R$ を $Q(R)$ 上の $ax+b$-半群とするとき、$C_0(\mathbb{A}_f^{(R)}) \rtimes P_R$ に同型である。これは代数の幾何的実現を提供する。
• 高々1つの実埋め込みと類数1を満たす数体に対して、[CMR] および [LLN] で研究された一般化された Bost-Connes 代数は $\mathfrak{A}[R]$ に埋め込まれ、生成子と関係式による普遍的 C*-代数として記述可能である。
• 一般化された Bost-Connes 系の極端な $KMS_\beta$-状態は、$\mathfrak{A}[R]$ の $*$-表現 $\pi_\alpha$ を用いて $\ell^2(\mathfrak{o}^\times / \sim_{\mathfrak{o}^*})$ 上に構成され、$\mathrm{Gal}(K^{ab}/K)$ の元によってインデックス付けされる。状態は $\varphi_{\beta,\alpha}(x) = \zeta(\beta)^{-1} \mathrm{tr}(\pi_\alpha(x) e^{-\beta H})$ により定義され、ここで $H(\xi_r) = \log(N(r)) \xi_r$ である。
• この構成により、元の Bost-Connes の場合と同様に、作用素論的経路を通じて $KMS_\beta$-状態が直接得られ、$1 < \beta < \infty$ に対して $\varphi_{\beta,\alpha}$ がまさに極端な $KMS_\beta$-状態であることが確認される。[LLN] 定理 2.1 で示された通りである。