[論文レビュー] The regularity method for graphs and digraphs

Amelia Taylor|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2014

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、無向および有向グラフにおける極値的問題を解くために、正則性法を適用する。ハミルトン閉路と完全被覆に関する焦点を当て、線形の最小半次数を持つ強力に外部拡張する有向グラフが、ハミルトン閉路のすべての向きを含むことを証明する。これはナッシュ＝ウィリアムズの予想に対する近似解を与え、$C_6$-被覆および次数列条件に関する結果を拡張する。

ABSTRACT

This MSci thesis surveys results in extremal graph theory, in particular relating to Hamilton cycles. Szeméredi's Regularity Lemma plays a central role. We also investigate the robust outexpansion property for digraphs. Kelly showed that every sufficiently large oriented graph on $n$ vertices with minimum in- and outdegree at least $3n/8 +o(n)$ contains any orientation of a Hamilton cycle. We use Kelly's arguments to extend his result to any robustly expanding digraph of linear degree.

研究の動機と目的

• 極値的問題を解くために、無向および有向グラフにおける正則性法の開発と応用を目的とする。
• 有向グラフにおけるハミルトン閉路の存在を保証する十分な最小次数および次数列条件を確立すること。
• 線形最小半次数を持つ強力な外部拡張が、ハミルトン閉路のすべての向きを含むことを証明すること。
• ナッシュ＝ウィリアムズの予想（有向グラフにおけるハミルトン閉路の次数列条件）に対する近似解を与えること。
• 正則性法を用いて、$C_6$-被覆などの完全被覆に関する結果を拡張すること。

提案手法

• 大きなグラフを、擬似ランダムな辺分布を持つクラスタに分割するために、シュレーディンガーの正則性補題を用いる。
• 指定された部分グラフを正則クラスタに埋め込むために、キーレンマおよびブロウアップ補題を適用する。
• クラスタ間のバランスの取れた辺分布を保証するために、$(\varepsilon,d)$-超正則性の概念を用いる。
• 小さな摂動に対して耐性のある構造的性質として、強力な外部拡張を導入し、ハミルトン閉路の埋め込みを可能にする。
• ナッシュ＝ウィリアムズの予想におけるものよりわずかに強い次数列条件を用いて、強力な外部拡張を示す。
• 十分に大きな強力な$(\nu,\tau)$-外部拡張で、線形最小半次数を持つグラフは、ハミルトン閉路のすべての向きを含むことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有向グラフがハミルトン閉路を含むための最小次数または次数列条件は何か？
• RQ2 正則性法を用いて、大きな有向グラフにおいてハミルトン閉路のすべての向きの存在を証明できるか？
• RQ3 強力な外部拡張は、有向グラフにおけるハミルトン閉路のすべての向きの存在を示唆するか？
• RQ4 ナッシュ＝ウィリアムズの予想における条件は、強力な外部拡張およびハミルトン閉路の存在とどのように関係するか？
• RQ5 どの最小半次数条件が、大きなグラフにおける完全な$C_6$-被覆を保証するか？

主な発見

• 十分に大きな強力な$(\nu,\tau)$-外部拡張で、最小半次数が$\eta n$以上であるグラフは、ハミルトン閉路のすべての向きを含む。
• 条件$\delta^0(G) \geq (3/8 + \alpha)n$は、大きな有向グラフにおいてハミルトン閉路のすべての向きを保証し、ケリーの結果を確認する。
• この結果は、ナッシュ＝ウィリアムズの予想におけるものよりわずかに強い次数列条件が、強力な外部拡張を示し、したがってハミルトン閉路の存在を示すことを示唆する。
• 正則性法を用いて、大きなグラフにおける完全な$C_6$-被覆のための十分な最小次数条件を提供する。
• 正則性法は有向グラフへも成功裏に拡張され、ハミルトン閉路の任意の向きの埋め込みを可能にする。
• 主な結果は、キーヴァッシュ、クーハン、オストフの以前の定理を、ハミルトン閉路のすべての向きに一般化する。