[論文レビュー] The regularity of harmonic maps into spheres and applications to Bernstein problems

Jürgen Jost, Yuanlong Xin+1 more|ArXiv.org|Dec 2, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、弱い調和写像が半赤道の近傍を避ける条件下で、リーマン多様体から球面への写像について正則性および事前推定を確立する。半赤道の補集合におけるコンパクトな台を持つ厳密な凸関数の構成により、著者らは新たなベルンシュタイン型定理を導出し、ユークリッド空間内の完備な最小超曲面、あるいは球面上のコンパクトな最小超曲面が、そのガウス写像がこのような近傍を避けるならば、アフィン平面または赤道球面であることを証明する。

ABSTRACT

We show the regularity of, and derive a-priori estimates for (weakly) harmonic maps from a Riemannian manifold into a Euclidean sphere under the assumption that the image avoids some neighborhood of a half-equator. The proofs combine constructions of strictly convex functions and the regularity theory of quasi-linear elliptic systems. We apply these results to the spherical and Euclidean Bernstein problems for minimal hypersurfaces, obtaining new conditions under which compact minimal hypersurfaces in spheres or complete minimal hypersurfaces in Euclidean spaces are trivial.

研究の動機と目的

• 弱い調和写像が半赤道の近傍を避ける場合に、球面への写像について正則性および事前推定を確立すること。
• 古典的な調和写像の正則性理論を、開半球面条件を越えて拡張し、より鋭く一般化された結果を得ること。
• これらの正則性結果を、最小超曲面の球面的およびユークリッド的ベルンシュタイン問題に応用すること。
• ガウス写像の位相的および幾何的制約のもとで、最小超曲面が自明（アフィン平面または赤道球面）であることを証明すること。
• 半赤道の近傍を避けるという条件が最適であることを示し、閉じた測地線を含むより大きな領域では、厳密な凸関数が存在しないことを示すこと。

提案手法

• 球面上の半赤道の補集合のコンパクト部分集合に対して、各コンパクト集合に適合した、台がコンパクトな厳密な凸関数を構成する。これらは全体で凸ではないが、局所的には構成可能である。
• 調和写像とこれらの凸関数の合成により、弱い下調和関数を生成し、最大値の原理およびハルナック不等式の適用を可能にする。
• 楕円型偏微分方程式理論の高度な道具を用いる：グリーンのテスト関数技法、画像収縮法、テレスコピック技法、およびハルナック不等式の手法。
• モーザーのハルナック不等式およびグリーン関数の推定を用いて、エネルギーに依存しない振動およびエネルギーの制御を達成する。
• リューヴ＝ヴィルムスの定理を用い、最小超曲面のガウス写像と球面への調和写像との関係を活用し、幾何的条件を解析的条件に翻訳する。
• ノイマン＝パオンカレおよび体積成長不等式を用いて、非負のリッチ曲率またはユークリッド体積成長を示す多様体上のリウヴィル型定理の条件を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱い調和写像の正則性は、開半球面に含まれるという条件よりも弱い条件下でも確立可能か？
• RQ2 エネルギー最小性やグローバルエネルギーの上限を仮定しないで、調和写像のための事前推定を導出可能か？
• RQ3 ガウス写像の像にどのような幾何的条件が課されると、ユークリッド空間内の完備な最小超曲面がアフィン線形空間であると保証されるか？
• RQ4 目標球面上に閉じた測地線が存在する場合、厳密な凸関数の存在にどのような影響を与え、正則性理論にどう関与するか？
• RQ5 ガウス写像が半赤道の近傍を避けるという条件下で、最小超曲面のベルンシュタイン問題を解けるか？

主な発見

• 弱い調和写像が半赤道の補集合のコンパクト部分集合に値をとる場合、正則であり、事前推定を満たす。
• このような集合上で厳密な凸関数を構成可能であり、これは本質的である。ただし、半赤道の補集合全体で凸ではない。
• 半赤道の近傍を避けるという条件は最適であり、任意の閉じた測地線を含むより大きな領域では、厳密な凸関数が存在しない。
• 非負のリッチ曲率をもつリーマン多様体に対して、球面への弱い調和写像が半赤道の近傍を避けるならば、定数写像でなければならない。
• ユークリッド体積成長およびノイマン＝パオンカレ不等式を満たすユークリッド空間内の完備な最小超曲面に対して、ガウス写像が半赤道の近傍を避けるならば、超曲面はアフィン線形空間でなければならない。
• 本結果は、ソロモンおよびウィクラマセクエラの結果を一般化し、一部の状況では第一ベッチ数がゼロであるという位相的仮定を排除することで、従来のベルンシュタイン型定理を強化する。