[論文レビュー] The regularizing effects of some lower order terms in an elliptic equation with degenerate coercivity

Gisella Croce|arXiv (Cornell University)|May 3, 2010

Differential Equations and Boundary Problems参考文献 15被引用数 34

ひとこと要約

本稿では、退化強制性を有する楕円型方程式における低次の項の正則化効果を調査し、主な作用素が一様強制性を欠く場合でも、このような項が解の存在および向上した可積分性を保証することを示している。$ L^m(\Omega) $ のデータおよび低次の項に適切な仮定を置くと、著者らは $ H^1_0(\Omega) \cap L^\infty(\Omega) $ 内にエンタロピー解および分布解の存在を確立し、データに依存しない一様なバインディングを得た。

ABSTRACT

In this article we study an elliptic problem with degenerate coercivity. We will show that the presence of some lower order terms has a regularizing effect on the solutions.

研究の動機と目的

• 標準的強制性が成立しない、退化強制性を有する楕円型問題における低次の項の正則化効果を分析すること。
• 特に $ f \in L^m(\Omega) $ で $ m \geq 1 $ の弱い仮定の下で、退化強制性の下での解の存在を確立すること。
• 低次の項 $ h(u) $ が $ \sigma $ で垂直漸近を持つ場合、解 $ u \leq \sigma - \varepsilon $ が $ f $ に依存しない一様な有界性を保つことを証明すること。
• 解が標準的ソボレフ空間に属さない場合に、エンタロピー解への存在結果を拡張すること。
• 主作用素が一様強制性を欠く場合でも、解が $ H^1_0(\Omega) \cap L^\infty(\Omega) $ に留まることを示すこと。

提案手法

• 解の存在を保証するため、有界かつ単調増加であるように定義された切り詰められた低次の項 $ h_n(u) $ を用いた近似問題の使用。
• テスト関数 $ (u_n - h^{-1}(\|f\|_\infty))^+ $ を用いた下界・上界の方法により、$ u_n $ に対する一様 $ L^\infty $ バインディングを導出する。
• 退化強制性仮定 $ a(x,s) \geq \alpha / (1+|s|)^\gamma $ を用いて、近似列の弱収束を保証する一様 $ H^1_0 $ ノルムバインディングを確立する。
• 等積分性に依存し、$ |\{s \leq u_n < \sigma\}| \to 0 $ が $ s \to \sigma $ のとき成り立つことを利用し、弱形式における極限への渡りを実行する。
• 解が $ W^{1,1}_0(\Omega) $ に属さない場合にも対処するため、切り上げ関数 $ T_k(u) $ と弱勾配に依存するエンタロピー解の定義を用いる。
• 項 $ h(s) $ が $ \sigma $ で垂直漸近を持つ構造を活用し、エネルギー推定を用いて $ u \leq \sigma - \varepsilon $ a.e. が $ f $ に依存しないことを得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 垂直漸近を持つ低次の項は、退化強制性を有する楕円型方程式の解を正則化できるか？
• RQ2 低次の項 $ h(u) $ が $ s \to \sigma $ のとき $ h(s) \to \infty $ となる場合、$ f \in L^m(\Omega) $ で $ m \geq 1 $ であっても、解の有界性が保証されるか？
• RQ3 退化強制性のため $ W^{1,1}_0(\Omega) $ に属さない場合に、エンタロピー解の存在を確立できるか？
• RQ4 退化強制性パrameter $ \gamma \in (0,1] $ は、解の可積分性および正則性にどのように寄与するか？
• RQ5 近似問題における $ h(u) $ の切り上げおよび $ T_n(f) $ の使用が、$ H^1_0(\Omega) \cap L^\infty(\Omega) $ 内の解への収束をどのように保証するか？

主な発見

• $ f \in L^\infty(\Omega) $ のとき、問題は $ 0 \leq u(x) \leq \sigma - \varepsilon $ a.e. in $ \Omega $ を満たす分布解 $ u \in H^1_0(\Omega) \cap L^\infty(\Omega) $ を持つ。このバインディングは $ f $ に依存しない。
• 解 $ u $ は a.e. で $ u \leq \sigma $ を満たし、$ h(s) $ の構造のおかげで、すべての $ f \in L^m(\Omega) $、$ m \geq 1 $ に対して一様なバインディングが得られる。
• 近似解列 $ u_n $ は $ H^1_0(\Omega) $ 内で弱収束し、$ \Omega $ 内で a.e. 収束するため、極限解 $ u \in H^1_0(\Omega) \cap L^\infty(\Omega) $ の存在が保証される。
• $ h(u_n) $ は等積分性を満たし、弱形式における極限への渡りを可能にし、$ h(u_n) \to h(u) $ in $ L^1(\Omega) $ を証明できる。
• 解 $ u $ はエンタロピー解であり、$ \nabla u \notin L^1(\Omega) $ であっても、切り上げ関数 $ T_k(u - \varphi) $ を用いた弱形式を満たす。
• 退化強制性 $ a(x,s) \geq \alpha / (1+|s|)^\gamma $ で $ \gamma \in (0,1] $ は、$ h(u) $ の正則化効果と整合的であり、一様強制性の欠如にもかかわらず、存在性および有界性を可能にする。