[論文レビュー] The Reidemeister and the Nielsen numbers: growth rate, asymptotic behavior, dynamical zeta functions and the Gauss congruences

Alexander Fel'shtyn, Mateusz Slomiany|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2026

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ひとこと要約

この論文は tame endomorphisms/maps における Reidemeister 数・Nielsen 数の成長率・漸近挙動・Gauss 同余を分析し、Nielsen 共役ζ関数の有理性を確立する。

ABSTRACT

In the present paper, taking a dynamical point on view, we study the growth rate and asymptotic behavior of the sequences of the Reidemeister numbers and the sequences of the Reidemeister and the Nielsen coincidence numbers. We also prove the Gauss congruences for the sequence $\{R(φ^n,ψ^n)\}$ of the Reidemeister coincidence numbers of the tame pair $(φ,ψ)$ of endomorphisms of a torsion-free nilpotent group~$G$ of finite Prüfer rank. Furthermore, we prove the rationality of the Nielsen coincidence zeta function, the Gauss congruences for the sequence $\{N(f^n, g^n)\}$ of the Nielsen coincidence numbers and show that the growth rate exists for the sequence \{$N(f^n, g^n)\}$ of tame pair of maps $(f,g)$ of a compact nilmanifold to itself.

研究の動機と目的

• 有限 Prüfer rank をもつトーションフリーな nilpotent 群の tame endomorphism に対して Reidemeister 数 {R(φ^n)} の成長率と漸近挙動を調査する。
• tame なエンドモルフィズムのペアについて Reidemeister 共役数 {R(φ^n,ψ^n)} を拡張し Gauss 同余を確立する。
• Nielsen 共役数 {N(f^n,g^n)} を分析し Nielsen 共役ζ関数の有理性と関連する Gauss 同余を証明する。
• compact nilmanifolds 上の tame map ペアの設定で {N(f^n,g^n)} の成長率の存在を示す。
• 成長率を Abelian 部分の固有値および動的設定での位相エントロピーと関連づける。

提案手法

• twisted conjugacy と共役の群論的枠組みを提供する。
• R(φ^n) を Abelian 因子の積として、孤立的な下中央シリーズおよび固有値 α_k,ξ_{k,i} を用いて表現する。
• 完全近似 (profinite completion) と p-進解析を用いて R(φ^n) の式と成長率を導く。
• p-進およびアデリック技法を用いて {R(φ^n,ψ^n)} の Gauss 同余を導く。
• Nielsen 共役 ζ 関数の有理性と {N(f^n,g^n)} の有限 Gauss 同余を成長率の結果とともに確立する。
• 双対写像の固有値およびトポロジ的エントロピーと成長率を関連づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 tame endomorphisms of torsion-free nilpotent groups of finite Prüfer rank に対する Reidemeister 数の成長率 R^∞(φ) はどうなるか？
• RQ2 R(φ^n) および R(φ^n,ψ^n) を Abelian 部分の固有値でどのように表現し、それらの漸近挙動はどうなるか？
• RQ3 本設定で {R(φ^n,ψ^n)} および {R(φ^n)} の Gauss 同余は成り立つか？
• RQ4 Nielsen 共役 ζ 関数は有理か、{N(f^n,g^n)} に Gauss 同余は成り立つか？
• RQ5 compact nilmanifolds 上の tame map の対に対して {N(f^n,g^n)} の成長率は存在するか？

主な発見

• {R(φ^n)} の成長率が存在し、 Abelian 因子上の固有値の最大値の積として表される。
• 閉じた式で、R(φ^n) を Abelian 部分へ誘導された内射性固有値 ξ_{k,i} で表現する。
• tame pair 設定における {R(φ^n,ψ^n)} に対する Gauss 同余が確立される。
• Nielsen 共役 ζ 関数は有理であり、{N(f^n,g^n)} に対して Gauss 同余が成立する。
• compact nilmanifolds 上の tame map ペアについて {N(f^n,g^n)} の成長率が存在する。
• 成長率とトポロジ的エントロピーをユニタリ-dual 写像との関係で結びつける。