[論文レビュー] The relation of rapid ultrafilters and Q-points to van der Waerden ideal

Jana Flašková|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2010

Advanced Topology and Set Theory参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ヴァン・ダール・ワーデン理想 W に関連して、急速超フィルターと Q-点の違いを調査している。すべての Q-点が W と交わること（そして弱 W-超フィルターであること）を示す一方で、急速超フィルターは W と完全に交わらない可能性がある。可算半順序集合に対するマーティンの公理を仮定すると、Q-点でない W-超フィルターを構成でき、W-超フィルターにおいて Q-点の性質の逆は成り立たないことが示される。

ABSTRACT

We point out one of the differences between rapid ultrafilters and Q-points: Rapid ultrafilters may have empty intersection with van der Waerden ideal, whereas every Q-point has a non-empty intersection with van der Waerden ideal. Assuming Martin's axiom for countable posets we also construct a W-ultrafilter which is not a Q-point.

研究の動機と目的

• 急速超フィルター、Q-点、およびヴァン・ダール・ワーデン理想 W 間の関係を明確化すること。
• Q-点が W と交わることの性質が、W-超フィルターへと拡張可能かどうかを特定すること。
• 弱 W-超フィルターであるという性質が、Q-点であること implies となるかどうかを調査すること。
• 可算半順序集合に対するマーティンの公理のもとで、Q-点でない W-超フィルターを構成すること。
• 急速超フィルターがヴァン・ダール・ワーデン理想を避けることができることを示すこと、Q-点とは対照的である。

提案手法

• 可算半順序集合に対するマーティンの公理（MA_ctble）を用いて、有限集合の半順序集合上での一般化フィルターを構成する。
• 3項等差数列を含まない ω の有限部分集合からなる半順序集合 P を定義し、最小値が増加する順序で拡張によって順序づける。
• フィルター基底の各 F および k ∈ ω に対して、密集集合 D_{F,k} を導入し、F との交わりが任意に長い等差数列を含むことを保証する。
• 一般化フィルター G を用いて、f[G] ∈ I_g を満たす集合 G ⊆ ω を構成する（I_g は和が収束する理想）。
• 順序数 α による超限帰納法によりフィルター基底 {F_α} を構成し、各 F_α が AP-集合であること、およびすべてのペア (f_α, g_α) に対して f_α[F] ∈ I_{g_α} となるように保証する。
• 得られたフィルター基底を、ヴァン・ダール・ワーデン理想 W と交わらないが、恒久的に急速なままの超フィルター U に拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 急速超フィルターはヴァン・ダール・ワーデン理想 W を避けることができるか？
• RQ2 すべての Q-点は必然的に W-超フィルターであるか、それとも弱 W-超フィルターにとどまるのか？
• RQ3 弱 W-超フィルターであるという性質が、超フィルターが Q-点であること implies となるか？
• RQ4 マーティンの公理（MA_ctble）のような集合論的仮定のもとで、Q-点でない W-超フィルターを構成できるか？
• RQ5 超フィルターの恒久的急速性と、W との交わりとの関係は何か？

主な発見

• すべての Q-点は弱 W-超フィルターである。つまり、任意の有限対一関数 f に対して、f による像が W に属するような超フィルターの元が存在する。
• ヴァン・ダール・ワーデン理想 W と交わらない急速超フィルターが存在する。これは、急速性が W との交わりを必然的に意味しないことを示している。
• 可算半順序集合に対するマーティンの公理のもとで、U ∩ W = ∅ を満たす恒久的に急速な超フィルター U が存在する。
• MA_ctble の下で、Q-点でない W-超フィルターを構成でき、W-超フィルターが常に Q-点であるとは限らないことが示された。
• 構成された超フィルターは恒久的に急速であり、かつすべての集合が AP-集合（等差数列を含まない集合）である。
• この構成は、3項等差数列を含まない有限集合の半順序集合上の一般化フィルターに依存しており、関数による像集合が和が収束する理想に属することを保証する。