[論文レビュー] The relations of the homogeneous Maxwell's equations to the theory of functions

Cornelius Lanczos|ArXiv.org|Aug 17, 2004

Electromagnetic Simulation and Numerical Methods参考文献 12被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、電磁力学を場の理論として初めて提示するものであり、マクスウェルの同次方程式がバイクaternion解析関数のコーシー・リーマン条件の4次元的一般化として解釈される。バイクォaternion上での超解析関数として電磁場を扱うことで、ランツォスは、電子が場の特異点として現れる有限で自己整合的な電磁力学を導出し、作用原理により正則解と特異解が統一される。これは相対論的場の理論、量子論、関数論の核心的アイデアを予見する統一的枠組みを提供する。

ABSTRACT

The thesis developed by Cornelius Lanczos in his doctoral dissertation is that electrodynamics is a pure field theory which is hyperanalytic over the algebra of biquaternions. In this theory Maxwell's homogeneous equations correspond to a generalization of the Cauchy-Riemann regularity conditions to four complex variables, and electrons to singularities in the Maxwell field. Since there are no material particles in Lanczos electrodynamics, the same action principle applies to both regular and singular Maxwell fields. Therefore, the usual action integral of classical electrodynamics is {not} an input in that theory, but rather a consequence which {derives} from the application of Hamilton's principle to a superposition of two or more homogeneous Maxwell fields. This leads to a fully consistent electrodynamics which, moreover, can be shown to be finite. As byproducts to this remarkable thesis Lanczos anticipated the Moisil-Fueter theory of quaternion-analytic functions by more than ten years; showed that Maxwell's equations are invariant in both spin-1 and spin-1/2 Lorentz transformations; that displacing a singularity into imaginary space adds an intrinsic magnetic-like field to its electric field; and that his theory does even include gravitation -- although not in the general relativistic form of Einstein to whom Lanczos dedicated his dissertation.

研究の動機と目的

• マクスウェル方程式、相対性理論、電子理論を1つの数学的構造に統合する場の理論的基盤を構築すること。
• バイクォaternion解析を通じて、4つの複素変数における一般化されたコーシー・リーマン条件として、同次マクスウェル方程式が対応することを示すこと。
• この枠組みにおいて、電子が場の特異点として自然に生じることを示し、物質的点粒子の必要性を排除すること。
• 古典的作用積分を入力としてではなく、同次場の重ね合わせにハミルトンの原理を適用した結果として導出すること。
• 一般相対性理論と量子理論の側面を関数的場の理論を通じて統合する、有限で自己整合的な電磁力学を確立すること。

提案手法

• 電磁場をバイクォaternion代数上の超解析関数として形式化し、正則性が同次マクスウェル方程式に対応することを定義する。
• 時空上で場のノルムの二乗積分を最小化する変分原理を定義し、ラプラシアンのグリーン関数を含む境界値を指定する。
• クォaternion積と共役を用いて、ベクトル（4次元ベクトル）およびバーチョル（ローレンツ変換）型を定義し、4次元での共変的定式化を可能にする。
• 同次場の重ね合わせにハミルトンの原理を適用し、古典的作用積分を入力ではなく結果として導出する。
• 複素時間と解析接続を導入して特異性をモデル化し、特異点を虚数空間にずらすと磁気的場が生成されることを示す。
• スピン1およびスピン1/2のローレンツ変換の両方に対してマクスウェル方程式が不変であることを示し、後に現れる相対論的量子力学の発展を予見する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マクスウェルの同次方程式は、4つの複素変数における一般化されたコーシー・リーマン条件としてどのように解釈できるか？
• RQ2 電磁力学の古典的作用積分は、仮定されたものではなく、根本的な変分原理から導出可能か？
• RQ3 この場の理論的枠組みにおいて、電磁場の特異性はどのように電子に対応するか？
• RQ4 バイクォaternion解析的正則性は、相対性理論、電磁力学、量子的構造を統合するために果たす役割は何か？
• RQ5 複素時間と虚数的特異性を含めることで、有限で自己整合的な電磁力学理論がどのように得られるか？

主な発見

• 同次マクスウェル方程式が、4つの複素変数におけるバイクォaternion解析関数の一般化されたコーシー・リーマン条件と等価であることが示された。
• 電磁力学の古典的作用積分は入力ではなく、同次場の重ね合わせにハミルトンの原理を適用した結果として得られる。
• 電子は電磁場の特異点として特定され、その質量は機械的または電磁的質量ではなく、ダランベールおよびアインシュタインの慣性質量として生じる。
• 理論は場の理論的性質に起因する作用と点粒子の不在により、発散がなく、有限で自己整合的である。
• 理論はモイジル＝フエーターのクォaternion解析関数論を十数年以上も先んじており、スピン1およびスピン1/2の両方のローレンツ変換に対して不変であることが示された。
• 場の特異点を虚数時間にずらすと、内在的な磁気的場が生成され、スピンおよび磁気モーメントのより深い幾何的起源を示唆する。