[論文レビュー] The Relationship Between Discrete and Continuous Entropy in EPR-Steering Inequalities

James Schneeloch|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2013

Molecular Junctions and Nanostructures参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、EPR-steering不等式の文脈において、離散的および連続的エントロピーの間の厳密な数学的関係を確立し、離散的測定が連続変数EPR-steering不等式の導出および実験的検証にどのように利用できるかを示している。主な貢献は、空間的自由度間の統計的独立性を仮定しないで成立する強化されたスティアリング不等式（20）の導出であり、これにより局所的隠れ状態モデルの実験的破壊がより頑健になる。

ABSTRACT

This document expands upon the relationship between discrete and continuous entropy given in (Phys. Rev. Lett. 110 130407), \Violating Continuous Variable Einstein-Podolsky-Rosen Steering with Discrete Measurements". We provide a detailed derivation for the inequality relating the continuous conditional entropy to its discrete approximation, and show how this connection works between discrete and continuous entropic quantities in general. In addition, we use this connection to show how to derive the continuous variable Einstein-Podolsky-Rosen steering inequality with discrete measurements as seen in (Phys. Rev. Lett. 110 130407), and make an additional comment which strengthens this result.

研究の動機と目的

• 量子情報における離散的および連続的エントロピーの関係を形式化すること、特にEPR-steeringの場面を想定して。
• 連続変数系における離散的測定が、連続的条件付きエントロピーをどのように近似するかを厳密に導出すること。
• 空間的自由度間の統計的独立性の仮定を除いて、先行研究で得られたEPR-steering不等式を強化すること。
• 離散的測定結果を用いて、連続変数EPRスティアリングのより頑健な実験的検証を可能にすること。
• 多次元系におけるエントロピック不確実性関係とEPRスティアリングの関係を明確にすること。

提案手法

• 連続的条件付きエントロピーとその離散的近似を結ぶ基本的不等式 $ h(y|x) \leq H(Y|X) + \log(\Delta y) $ を導出する。
• 連続的エントロピーを離散的測定ウィンドウごとの条件付きエントロピーに分解することで、$ h(x) $, $ H(X) $, およびウィンドウサイズ $ \Delta x $ の関係を確立する。
• ジェンセンの不等式とエントロピーの凹性を用いて、離散的ビン内での条件付き分布のエントロピーを評価する。
• 複数変数に対する結合エントロピーおよび条件付きエントロピー（相互情報量を含む）へのエントロピー関係の拡張。
• 多次元スティアリング不等式の基盤として、エントロピック不確実性関係 $ h(\vec{x}) + h(\vec{k}) \geq n\log(\pi e) $ を用いる。
• 空間的自由度間の独立性を仮定しないで、最終的なスティアリング不等式 $ H(\vec{X}_B|\vec{X}_A) + H(\vec{K}_B|\vec{K}_A) \geq \sum_{i=1}^n \log\left(\frac{\pi e}{\Delta x_{Bi}\Delta k_{Bi}}\right) $ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 EPRスティアリング実験において、離散的測定は連続的条件付きエントロピーをどのように近似できるか？
• RQ2 連続変数量子系の文脈において、離散的エントロピーと連続的エントロピーの正確な数学的関係は何か？
• RQ3 連続変数から導かれたEPRスティアリング不等式を、離散的測定結果のみを用いて厳密に導出可能か？
• RQ4 多次元EPRスティアリング不等式において、空間的自由度間の統計的独立性の仮定は必要か？
• RQ5 このような仮定を除くことで、EPRスティアリング不等式の強度を向上させられるか？

主な発見

• 本稿は不等式 $ h(y|x) \leq H(Y|X) + \log(\Delta y) $ を導出し、連続的条件付きエントロピーが測定分解能に依存する項を加えた離散的条件付きエントロピー以上に抑えられることを示した。
• 連続的および離散的エントロピーをビニングによって結ぶ基本的エントロピー関係 $ h(x) = \sum_{\ell} P(X_\ell) h_\ell(x) + H(X) $ が確立された。
• 導出されたスティアリング不等式（20）は、空間的自由度間の統計的独立性を仮定しないで成立するため、物理的意義が強化された。
• 不等式 $ h(\vec{x}^B|\vec{x}^A) + h(\vec{k}^B|\vec{k}^A) \geq n\log(\pi e) $ が一般に成立することが示された。これはエントロピック不確実性関係に基づく。
• 離散的スティアリング不等式（20）は、独立性仮定に依存しないため、従来の認識よりも強力であることが証明された。
• 離 discrete と continuous エントロピーの関係は、相互情報量 $ h(x:y) \geq H(X:Y) $ および $ h(\vec{x}|\vec{y}) \leq H(\vec{X}|\vec{Y}) + \log\left(\prod_{i=1}^n \Delta x_i\right) $ を通じて多変数系へ自然に拡張される。