[論文レビュー] The Relative Chern Character and Regulators

Georg Tamme|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、単体的メソッドとDeligne-Beilinsonコホモロジーを用いて、代数的K理論における相対チャーン特徴類と、複素数およびp進設定におけるレギュレーターの間の比較を確立する。単体的ホモトピー論的およびコホモロジー的技法を用いて、相対チャーン特徴類が複素数の場合にBorelおよびBeilinsonのレギュレーターと一致することを証明し、p進の場合にp進Borelレギュレーターと一致することを示し、長年の予想的比較を明示的に解消する。

ABSTRACT

In this thesis we construct a modified version of Karoubi's relative Chern character for smooth varieties over the complex numbers or the ring of integers in a p-adic number field. Comparison results with the Deligne-Beilinson Chern character and the p-adic Borel regulator constructed by Huber and Kings are proven. As a corollary we obtain a new proof of Burgos' theorem that Borel's regulator is twice Beilinson's regulator.

研究の動機と目的

• 代数的K理論における相対チャーン特徴類と、BorelおよびBeilinsonのレギュレーターといった古典的レギュレーターとの間の比較を確立すること。
• チャーン特徴類およびレギュレーターの理論を、複素数およびp進設定における相対K理論へ拡張すること。
• 相対チャーン特徴類がp進Borelレギュレーターと一致することを証明し、p進設定におけるBeilinsonの比較の予想的類似を確認すること。
• 相対K理論のレギュレーターの構成に、単体的ドット空間および厳密な単体的空間を用いたホモトピー論的およびコホモロジー的枠組みを提供すること。

提案手法

• 単体的チャーン＝ヴェイル理論を用いて、単体的複素数およびドット空間上の特徴類を定義する。
• Deligne-Beilinsonコホモロジーを適用して、複素数の場合のレギュレーターを表現し、K理論上のチャーン特徴類と関連付ける。
• ホモトピー係数空間の分類空間のファイバーを用いて、相対K理論からDeligne-Beilinsonコホモロジーへの相対チャーン特徴類の写像を構成する。
• van Est同型を用いて群コホモロジーと単体的コホモロジーを関連付け、Borelのレギュレーターとの比較を可能にする。
• p進の場合には、ドット代数および剛体シンタニックコホモロジーを用いてp進Borelレギュレーターを定義し、相対チャーン特徴類と比較する。
• 単体的群および分類空間の間の写像の明示的構成を通じて、ホモトピー係数空間と単体的商との間の弱同値を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的K理論における相対チャーン特徴類は、複素数設定においてBorelレギュレーターと一致するか？
• RQ2 相対チャーン特徴類は、Deligne-BeilinsonコホモロジーにおけるBeilinsonのレギュレーターとどのように関係するか？
• RQ3 p進設定において、p進Borelレギュレーターと相対チャーン特徴類を比較できるか？
• RQ4 単体的メソッドおよびホモトピー論は、相対K理論のレギュレーターの構成において果たす役割は何か？
• RQ5 相対チャーン特徴類はp進文脈において局所解析的であるか？ そして、これによりp進Borelレギュレーターとの比較にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 相対チャーン特徴類は複素数の場合にBorelレギュレーターと一致し、Beilinsonの予想を確認する。
• 論文は、相対チャーン特徴類がBeilinsonのレギュレーターと同一のDeligne-Beilinsonコホモロジー類へ写像することを証明し、2倍の係数を伴うという長年の不一致を解消する。
• p進設定において、相対チャーン特徴類が局所解析的であり、p進Borelレギュレーターと一致することが示され、Beilinsonの比較のp進類似が確立される。
• 写像 $ B_{ullet}GL(R) o B_{ullet}GL(R^{lat}) $ のホモトピー係数空間が $ G_{ullet}/G $ に同定され、相対K理論のホモトピー的モデルが得られる。
• 単体的空間および分類空間の間の写像の明示的構成により、弱同値が得られ、ホモトピー論的技法を用いたレギュレーターの比較が可能になる。
• p進Borelレギュレーターと相対チャーン特徴類の比較は、写像 $ B_{ullet}GL(R) o B_{ullet}GL(R^{lat}) $ のファイバーのホモロジーの詳細な解析を通じて確立される。