[論文レビュー] The relative extremal function for Borel sets in complex manifolds

Armen Edigarian, Ragnar Sigurðsson|ArXiv.org|Jul 13, 2006

Geometry and complex manifolds参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、複素多様体におけるボレル集合上での相対的極値関数のディスク公式を確立し、弱く正則な領域 $ D $ 内の局所的多複調和的正則なボレル集合 $ A $ に対して、相対的極値関数 $ \omega(\cdot, \overline{A}, D) $ が、$ f(0) = x $ を満たす解析的ディスク $ f $ 全体にわたる $ -\sigma_f(A) $ の下界によって上から有界であることを証明している。これはポレツキーの定理を非開集合へ拡張するものである。主な貢献は、ヨーゼフソン多様体および弱く正則な領域における解析的ディスクを用いた極値的極値集合の特徴付けである。

ABSTRACT

We study a disc formula for the relative extremal function for Borel sets in complex manifolds.

研究の動機と目的

• 複素多様体におけるボレル集合へ、ポレツキーのディスク公式による相対的極値関数の拡張を試みること。
• 複素多様体におけるボレル集合 $ A $ に対して、不等式 $ \omega(\cdot, \overline{A}, X) \leq \Omega(\cdot, \overline{A}, X) $ の有効性を検討すること。
• 弱く正則な領域およびヨーゼフソン多様体における解析的ディスクを用いて、極値的極値集合を特徴付けること。
• 相対的極値関数が $ D $ の境界上に存在するボレル集合 $ A \subset \partial D $ に対して、$ \omega(\cdot, \overline{A}, D) \leq \Omega(\cdot, \overline{A}, D) \leq \omega^{*}(\cdot, A, D) $ を満たす条件を特定すること。

提案手法

• 相対的極値関数 $ \omega(\cdot, A, X) $ を、$ -\chi_A $ によって上から有界である非正の多複調和的関数の上界として定義する。
• 解析的ディスク $ f \in \mathcal{O}(\mathbb{D}, X) \cap C(\overline{\mathbb{D}}, X) $ で $ f(0) = x $ を満たすもの全体にわたる $ -\sigma_f(A) $ の下界として $ \Omega(x, A, X) $ を定義する。
• 多複調和的関数の平均値性質を用いて、すべてのボレル集合 $ A $ に対して $ \omega(x, A, X) \leq \Omega(x, A, X) $ を導出する。
• 局所的多複調和的正則な $ A $ に対して、複素多様体 $ X $ 内で $ \Omega(\cdot, \overline{A}, X) \leq \omega(\cdot, A, X) $ を証明する。
• ヨーゼフソン多様体の相対的にコンパクトな弱く正則な領域 $ D $ において、境界上に存在するボレル集合 $ A \subset \partial D $ に対して $ \Omega(\cdot, A, D) \leq \omega^{*}(\cdot, A, D) $ を確立する。
• 近傍の列を用いて解析的ディスクを帰納的に構成し、ポisson積分およびペロン＝ブレーマンの包絡線を用いて境界挙動を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素多様体におけるボレル集合 $ A $ に対して、ディスク公式 $ \Omega(x, A, X) = \omega(x, A, X) $ が成り立つ条件は何か？
• RQ2 弱く正則な領域 $ D $ の境界上に存在するボレル集合 $ A \subset \partial D $ に対して、相対的極値関数が解析的ディスクを用いて特徴付けられるか？
• RQ3 すべてのボレル部分集合 $ A \subset \partial D $ に対して、不等式 $ \Omega(\cdot, \overline{A}, D) \leq \omega^{*}(\cdot, A, D) $ は成立するか？
• RQ4 ボレル集合 $ A \subset \partial D $ の極値的極値性と、$ \sigma_f(A) $ が大きい解析的ディスクの存在との関係は何か？
• RQ5 ヨーゼフソン多様体において、すべての有界な多複調和的関数が定数であるという性質が、解析的ディスク近似によって特徴付けられるか？

主な発見

• 任意の複素多様体 $ X $ 内の局所的多複調和的正則なボレル集合 $ A $ に対して、不等式 $ \Omega(\cdot, \overline{A}, X) \leq \omega(\cdot, A, X) $ が成り立つ。
• ヨーゼフソン多様体の相対的にコンパクトな弱く正則な領域 $ D $ において、任意のボレル集合 $ A \subset \partial D $ に対して $ \Omega(\cdot, A, D) \leq \omega^{*}(\cdot, A, D) $ が成り立つ。
• もし $ A = A_1 \cup E $ で、$ A_1 $ が局所的多複調和的正則であり、ある $ u \in \mathrm{PSH}^-(D) $ に対して $ u^*|_E \equiv -\infty $ であるならば、すべての $ x \in D $ に対して $ \omega(x, \overline{A}, D) \leq \Omega(x, \overline{A}, D) \leq \omega^*(x, A, D) $ が成り立つ。
• ヨーゼフソン多様体では、すべての有界な多複調和的関数が定数であるという性質が成り立つための必要十分条件は、任意の $ p \in X $、任意の非極値的極値なボレル集合 $ A \subset X $、任意の $ \varepsilon > 0 $ に対して、$ f(0) = p $ かつ $ \sigma_f(A) > 1 - \varepsilon $ を満たす解析的ディスク $ f \in \mathcal{O}(\mathbb{D}, X) \cap C(\overline{\mathbb{D}}, X) $ が存在することである。
• コンパクト集合 $ A \subset \partial D $ に対して $ \omega^*(\cdot, A, D) \equiv 0 $ が成り立つための必要十分条件は、$ u \not\equiv -\infty $ であるような $ u \in \mathrm{PSH}^-(D) $ が存在して、$ u^*|_A \equiv -\infty $ となることである。