[論文レビュー] The relative lattice path operad

Alexandre Quesney|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2015

Advanced Topics in Algebra参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、組み合わせ的セットレベルのオペラッド $ρ\mathcal{L}$ を、スイスチーズ・オペラッドのモデルとして構成し、Batanin-Bergerの圧縮プロセスを用いて弱同値な位相的およびチェイン・オペラッドを導出する。主な結果は、圧縮されたオペラッド $Σρ\mathcal{L}_{m}$ が、それぞれ位相的およびチェイン・スイスチーズ・オペラッド $σ\mathcal{C}_{m}$ および $C_*(\sigma\mathcal{C}_{m})$ と弱同値であることであり、2重ループ空間が2重相対ループ空間に作用するための代数的モデルを提供する。

ABSTRACT

We construct a set-theoretic coloured operad that may be thought of as a combinatorial model for the Swiss Cheese operad. This is the relative (or Swiss Cheese) version of the lattice path operad constructed by Batanin and Berger. By adapting their condensation process we obtain a topological (resp. chain) operad that we show to be weakly equivalent to the topological (resp. chain) Swiss Cheese operad.

研究の動機と目的

• スパナールパス構造に基づいて、スイスチーズ・オペラッドの組み合わせ的セットレベルのモデルを構築すること。
• このモデルにBatanin-Bergerの圧縮プロセスを適用し、弱同値な位相的およびチェイン・オペラッドを得ること。
• 得られたオペラッドを用いて、2重ループ空間が2重相対ループ空間に作用するための代数的モデルを構築すること。
• Bergerの小さな立方体オペラッドの細胞分解をスイスチーズの文脈に一般化すること。
• ポセット・オペラッド $ρ\mathcal{K}_{m}$ を用いて、相対ループ空間の作用を認識する原理を確立すること。

提案手法

• 格子パスに基づいて、2色付きオペラッド $ρ\mathcal{L}$ をセットのなかで組み合わせ的モデルとして構成する。
• 対称モノイダル圏における零対象を伴うコシンプレックス的対象 $δ$ を用いて、$ρ\mathcal{L}_{m}$ に圧縮関手 $F$ を適用する。
• 2つの特定のコシンプレックス的対象を用いる：位相的オペラッドには $δ_{\text{Top}}$、チェイン複体には $δ_{\mathbb{Z}}$ を使用する。
• ポセット・オペラッド $ρ\mathcal{K}_{m}$ を用いて $σ\mathcal{C}_{m}$ の細胞分解を定義し、Bergerの小さな立方体オペラッドの分解を一般化する。
• $σ\mathcal{C}_{m}$ と $ρ\mathcal{K}_{m}$ の分類的オペラッドの間で弱同値のズイ・ザッグを確立し、任意の $ρ\mathcal{K}_{m}$-細胞的オペラッドが $σ\mathcal{C}_{m}$ と弱同値であることを証明する。
• コバール構成 $ΩB$ および相対コバール構成 $Ω(B,C)$ に明示的な作用を定義し、圧縮チェイン・オペラッド $Σρ\mathcal{L}_{2}(\delta_{\mathbb{Z}})$ 及びその部分オペラッド $ρ\mathcal{S}_{2}$ の作用を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スイスチーズ・オペラッドをモデル化する組み合わせ的セットレベルのオペラッドを構築できるか？
• RQ2 このモデルに圧縮プロセスを適用することで、標準的なスイスチーズ・オペラッドと弱同値な位相的およびチェイン・オペラッドが得られるか？
• RQ3 得られたオペラッドが、2重ループ空間が2重相対ループ空間に作用するための代数的モデルを提供できるか？
• RQ4 Bergerの小さな立方体オペラッドの分解を一般化したスイスチーズ・オペラッドの細胞分解は存在するか？
• RQ5 相対コバール構成に明示的な作用を定義することで、$ρ\mathcal{S}_{2}$-代数構造を備えることができるか？

主な発見

• オペラッド $Σρ\mathcal{L}_{m}(\delta_{\text{Top}})$ は、位相的スイスチーズ・オペラッド $σ\mathcal{C}_{m}$ と弱同値である。
• オペラッド $Σρ\mathcal{L}_{m}(\delta_{\mathbb{Z}})$ は、チェイン・スイスチーズ・オペラッド $C_*(\u03c3\mathcal{C}_{m})$ と弱同値である。
• チェイン・オペラッド $Σρ\mathcal{L}_{2}(\delta_{\mathbb{Z}})$ は、弱同値な部分オペラッド $ρ\mathcal{S}_{2}$ を持ち、これはサージェクション・オペラッドの相対版である。
• 任意の位相的 $ρ\mathcal{K}_{m}$-細胞的オペラッドは、スイスチーズ・オペラッド $σ\mathcal{C}_{m}$ と弱同値である。これは、認識原理を確立する。
• ユニタリ／コユニタリなバイアリズム $B$ およびユニタリ代数における $B$-コモジュール $C$ に対して、ペア $(\underline{\Omega}_{u}B, \underline{\Omega}_{u}(B,C))$ は、圧縮チェイン・オペラッド $Σρ\mathcal{L}_{2}(\delta_{\mathbb{Z}})$ の代数である。
• ペア $(\underline{\Omega}C_*^1M, \underline{\Omega}(C_*^1M, C_*^1N))$ は、コバール構成における明示的な作用を通じて、オペラッド $ρ\mathcal{S}_{2}$ の作用を備える。