[論文レビュー] The Relative Symplectic Cone and T^2-Fibrations

Josef G. Dorfmeister, Tianjun Li|arXiv (Cornell University)|May 19, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、トーラス（$T^2$）に沿ったファイバー構造を持つ4次元多様体のシンプレクティック構造を研究するために相対的シンプレクティック錐を導入する。シンプレクティックファイバー和と、Seiberg-WittenインバリアントとGromovインバリアントの間のTaubesの対応を用いて、極小なケーラー多様体でKodaira次元が1で$p_g > 0$であるような場合に、そのシンプレクティック錐が、正の錐${\mathcal{P}}^{c_1(M)}$とその負の錐${\mathcal{P}}^{-c_1(M)}$の和集合に一致するという予想を検証する。この結果により、既知のケースから新たな$T^2$-ファイバー構造のクラスへと予想が拡張される。

ABSTRACT

In this note we introduce the notion of the relative symplectic cone. As an application, we determine the symplectic cone of certain T^2-fibrations. In particular, for some elliptic surfaces we verify a conjecture on the symplectic cone of minimal Kaehler surfaces raised by the second author.

研究の動機と目的

• シンプレクティック4次元多様体$M$にcodimension-2のシンプレクティック部分多様体$V$が存在する場合に、相対的シンプレクティック錐${\mathcal{C}}^{V}_{M}$を定義し、その性質を調べること。
• ファイバー和の構成法を用いて、特に$T^2 \times \Sigma_g$および$X \#_{T^2} (T^2 \times \Sigma_k)$のような$T^2$-ファイバー構造のシンプレクティック錐を同定すること。
• 文献[18]の予想1.1を検証すること。この予想は、極小ケーラー多様体において、シンプレクティック錐が${\mathcal{P}}^{c_1(M)} \cup {\mathcal{P}}^{-c_1(M)}$に一致するとするものであり、Kodaira次元$\kappa = 1$かつ$p_g > 0$の場合に適用される。
• 部分多様体$V$が擬全純的となるような almost complex 構造の一般性を確立し、クラス$[V]$内の擬全純曲線の制御を可能にする。

提案手法

• 固定された向きとシンプレクティック部分多様体$V \subset M$と整合するシンプレクティック形式が代表するコhomology類の集合として、相対的シンプレクティック錐${\mathcal{C}}^{V}_{M}$を定義する。
• シンプレクティックファイバー和の構成$M = X \#_{V} Y$を用いて、既存の多様体から新しいシンプレクティック4次元多様体を構成する。このとき$V$が接合領域として機能する。
• トポロジー的条件のもとで、和の形式の錐$\mathcal{C}^{\text{sum}}$が相対錐${\mathcal{C}}^{V}_{X}$と${\mathcal{C}}^{V}_{Y}$の関数として記述できるグリューニング公式を導出する。このとき、$\mathcal{C}^{\text{sum}} = {\mathcal{C}}^{V}_{M}$が成り立つ。
• TaubesのSeiberg-WittenインバリアントとGromovインバリアントの対応を用いて、 canonical class と例外的クラスを介してシンプレクティック錐を制約する。
• 線形化$\overline{\partial}$の$J$-全純埋め込みにおける性質が、インデックス$k([V])$に応じて全射または単射であるようなalmost complex構造$J$の一般性を確立する。
• $k([V]) \geq 0$のとき、一般に$(J, \Omega)$のペアは、滑らかで0次元のモジュライ空間$\mathcal{K}_{V}^{[V]}(J,\Omega)$を生成し、$k([V]) < 0$のとき、$V$は一般の$J$に対して剛性を示すことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kodaira次元$\kappa = 1$で$p_g > 0$である極小ケーラー多様体のシンプレクティック錐は、${\mathcal{P}}^{c_1(M)} \cup {\mathcal{P}}^{-c_1(M)}$に等しいか？
• RQ2 シンプレクティックファイバー和の操作を用いて、$T^2$-ファイバー構造の相対的シンプレクティック錐${\mathcal{C}}^{V}_{M}$を計算できるか？
• RQ3 和の形式の錐$\mathcal{C}^{\text{sum}}$が、完全な相対的シンプレクティック錐${\mathcal{C}}^{V}_{M}$に一致する条件は何か？
• RQ4 一般のalmost complex構造$J$が、クラス$[V]$内の擬全純曲線の存在性および正則性にどのように影響するか？
• RQ5 Seiberg-Witten基本クラスとcanonical classは、$T^2$-ファイバー構造におけるシンプレクティック錐にどのような制約を課えるか？

主な発見

• ファイバー和$M = X \#_{V} Y$において、トポロジー的条件を満たせば、相対的シンプレクティック錐${\mathcal{C}}^{V}_{M}$は和の形式の錐$\mathcal{C}^{\text{sum}}$に等しくなることが示された。特に$V$の正規バンドルが自明である場合に成立する。
• $T^2 \times \Sigma_g$のシンプレクティック錐は完全に同定され、${\mathcal{P}}^{c_1(M)} \cup {\mathcal{P}}^{-c_1(M)}$に一致することが確認され、このクラスの多様体について予想1.1が検証された。
• $X \#_{T^2} (T^2 \times \Sigma_k)$のシンプレクティック錐はファイバー和の技法を用いて計算され、$X$が$p_g = 0$または$\kappa = 0$である場合に、この$T^2$-ファイバー構造についても予想が確認された。
• 一般の$J$が$\mathcal{J}_V$の$G_\delta$稠密部分集合に属するとき、$k([V]) \geq 0$ならば$J$-全純埋め込みにおける$\overline{\partial}$の線形化は全射であり、$k([V]) < 0$ならば単射である。このことは、モジュライ空間の正則性を保証する。
• $k([V]) < 0$のとき、$\mathcal{J}_{[V]}$に属する一般の$J$は、クラス$[V]$内に$V$以外の擬全純的代表元を持たないことを示し、剛性が成立する。
• $k([V]) \geq 0$のとき、$\mathcal{J}_{[V]}$は$\mathcal{J}_V \times X^{k([V])}$で稠密であり、一般にはモジュライ空間$\mathcal{K}_{V}^{[V]}(J,\Omega)$は滑らかで0次元の多様体である。ただし、$m > k([V])$の場合は一般に空集合である。