[論文レビュー] The Relativistic framework of Positioning systems

J.‐F. Pascual‐Sánchez|ArXiv.org|Oct 5, 2007

Relativity and Gravitational Theory参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、4つの衛星が自らの固有時を送信する送信座標を用いた完全相対論的位置決めフレームワークを提案し、時計同期を必要としない自律的・観測者独立のナビゲーションを可能にする。主な貢献は、このようなシステムがユーザーと衛星が同時に自身の軌道および時空計量（重力場）を特定できることであり、今後の一般相対性理論に基づくナビゲーションシステム（GPS や GLONASS で用いられるポストニュートン近似を超えるガリレオなど）の基盤を提供する。

ABSTRACT

Emission relativistic coordinates are a class of spacetime coordinates defined and generated by four emitters (satellites, pulsars) broadcasting their proper time by radio signals. They are the main ingredient of the simplest conceivable relativistic positioning system. The emission coordinates are independent of any observer. Receiving directly the proper time at emission of four satellites, any user or observer can measure the values of the emission coordinates, from which he/she can obtain his trajectory and hence, in particular, his position. Moreover, if and only if the four satellites also broadcast to the users the proper times they are receiving by cross-link autonavigation from the other emitters, the positioning system is called autolocated or autonomous. In an autolocated positioning system the trajectories of the satellites of the constellation can also be known by the users and they can also obtain the metric of the spacetime (the gravitational field) on the constellation. The study of autolocated relativistic positioning systems has been initiated by Coll and coll. several years ago and it has been aimed for developing an exact fully relativistic theory of positioning systems and gravimetry, based on the framework and concepts of General Relativity. This exact relativistic framework is the alternative to considering post-newtonian relativistic corrections in a classical Newtonian framework, which is the customary approach yet now used in GPS and GLONASS.

研究の動機と目的

• GNSS（GPS や GLONASS など）で用いられる現在のポストニュートン枠組みの完全相対論的代替案を開発すること。
• 高精度時刻計測システムにおけるニュートン的 3+1 時空分割およびポストニュートン補正の限界を克服すること。
• 送信座標を一般相対性理論における基本的・観測者独立の座標系として確立すること。
• 衛星とユーザーが同時に自身の軌道および重力場を特定できる自己位置決めシステムを実現すること。
• 将来的なナビゲーションシステム（例：ガリレオ）の理論的基盤を、ニュートン的近似ではなく一般相対性理論に基づいて構築すること。

提案手法

• 送信座標は、4つの衛星が送信する固有時 $\tau^A$ として定義され、光的共変ベクトルのフレーム $\{d\tau^1, d\tau^2, d\tau^3, d\tau^4\}$ を形成する。
• 時空計量はこれらの光的共ベクトルの内積から導出され、$g^{AB} = (d\tau^A \cdot d\tau^B)$ として表現され、対称行列でかつ対角成分がゼロとなる。
• 行列式 $\det(g^{AB}) < 0$ が成り立つ場合、計量はローレンツ型の符号 $(+,-,-,-)$ を持ち、物理的に有効な時空構造を保証する。
• 自己位置決めシステムでは、衛星が他の衛星から受信した固有時 $\tau^{AB}$ も送信することで、完全な自己一貫性を達成する。
• 送信座標は信号伝送プロセスに内在するため、外部の同期が一切不要である。
• このフレームワークは、ローレンツ幾何学において特権的である因果的クラス（特に199番目の因果的クラス）を用い、その中で送信座標は一般に重力のない即時的位置決めに適した唯一の座標系である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 観測者や同期規約に依存しない完全相対論的位置決めシステムを構築可能か？
• RQ2 一般相対性理論における送信座標フレームワークは、現在のGNSSで用いられるポストニュートン補正とどのように異なるか？
• RQ3 送信座標が時空グリッドを定義する際に、その一意性の数学的・物理的根拠は何か？
• RQ4 自己位置決めシステムでは、ユーザーと衛星が同時に自身の軌道および時空計量を特定可能か？
• RQ5 なぜローレンツ時空フレームの199番目の因果的クラスが、一般に重力のない即時的位置決めシステムに唯一適しているのか？

主な発見

• 4つの衛星の固有時 $\tau^A$ で定義される送信座標は、完全に相対論的で観測者独立の座標系であり、直接的に時空幾何を符号化する。
• 光的共ベクトル $d\tau^A$ の内積から導かれる計量は、対称的で4×4の行列であり、対角成分がゼロで、独立成分が6つ存在する。
• 行列式 $\det(g^{AB}) < 0$ が成り立つ場合に限り、計量はローレンツ型符号 $(+,-,-,-)$ を持ち、物理的に有効な時空構造を保証する。
• 自己位置決めシステムでは、衛星が他の衛星から受信した固有時 $\tau^{AB}$ も送信するため、ユーザーは自らの軌道に加え、衛星の軌道およびコンステレーションに作用する重力場を特定可能である。
• 199個の因果的クラスのうち、送信座標フレームワークは一般に重力のない即時的位置決めシステムを可能にする唯一のものである。
• このフレームワークは外部同期の必要性を排除し、今後の一般相対性理論に基づくナビゲーションシステム（例：ガリレオ）の基盤を提供し、ポストニュートン近似を超える。