[論文レビュー] The relativistic KMS condition for the thermal n-point functions of the P(ϕ)_2 model

Christian D. Jäkel, Florian Robl|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2011

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions参考文献 40被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、P(ϕ)₂モデルにおける一般のn点熱Wightman分布に対して相対論的KMS条件を確立し、二点関数に関する先行結果を拡張する。Osterwalder-Schröder再構成と円筒上でのユークリッド量子場理論を用いて、熱相関関数が相対論的チューブ領域に解析接続可能であることを証明し、それらが緩やかな性質を示し、すべてのn点関数に対して相対論的KMS条件を満たすことを確認する。

ABSTRACT

Thermal quantum field theories are expected to obey a relativistic KMS condition, which replaces both the relativistic spectrum condition of Wightman quantum field theory and the KMS condition, which characterises equilibrium states in quantum statistical mechanics. In a previous work it has been shown that the two-point function of the thermal $P(ϕ)_2$ model satisfies the relativistic KMS condition. Here we extend this result to general $n$-point functions.

研究の動機と目的

• 熱P(ϕ)₂モデルにおける二点関数から一般のn点関数への相対論的KMS条件の拡張を図ること。
• P(ϕ)₂モデルの熱Wightman分布がMinkowski空間における緩やかな分布であることを検証すること。
• Osterwalder-Schröder再構成を用いて、円筒上でのユークリッド量子場理論とミンコフスキー空間における熱量子場理論との間の厳密な接続を確立すること。
• 熱状態がPoincaré不変性の下で真空場理論構造と整合する相対論的KMS条件を満たしていることを確認すること。

提案手法

• 空間カットオフlを用いたガウス測度とMinlosの定理を用いて、時空の円筒上でのユークリッドP(ϕ)₂モデルを構成する。
• Glimm-Jaffe手法を用いて、正規順序付け（Wick正規化）を施して相互作用のあるユークリッド量子場理論を定義する。
• Nelsonの対称性を用いて空間カットオフを除去し、熱シュヴィンガー関数を一様な周期的空間（周期β）を持つ真空P(ϕ)₂モデルのシュヴィンガー関数と関連付ける。
• Osterwalder-Schröder再構成を適用して、ヒルベルト空間、真空状態、時間発展、およびフォンノイマン代数を備えたミンコフスキー空間における熱量子場理論を構成する。
• n点関数を相対論的チューブ領域 ℝᵈ + i(V⁺ ∩ (βe − V⁺)) に解析接続できることを分析し、緩やかな分布に収束することを証明する。
• Weyl作用素の境界条件の微分からKMS境界条件を導出し、すべてのn点関数に対して相対論的KMS条件が成立することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 P(ϕ)₂モデルにおける一般のn点熱Wightman分布に対して、二点関数に限らず相対論的KMS条件が成立するか？
• RQ2 P(ϕ)₂モデルの熱Wightman分布はMinkowski空間における緩やかな分布であるか？
• RQ3 Osterwalder-Schröder再構成手順を円筒上での熱P(ϕ)₂モデルに適用することで、相対論的量子場理論が得られるか？
• RQ4 熱n点関数の解析的構造は、相対論的チューブ領域およびKMS条件とどのように関係しているか？
• RQ5 アインシュタイン宇宙は、熱ユークリッド理論とミンコフスキー理論を結ぶ役割を果たすか？

主な発見

• 熱n点Wightman分布は、シュワーツ空間の位相における収束によって、緩やかな分布であることが示された。
• n点関数は、相対論的チューブ領域 ℝᵈ + i(V⁺ ∩ (βe − V⁺)) に解析接続可能であり、相対論的KMS条件を満たす。
• Weyl作用素の境界条件の微分からn点関数のKMS境界条件が導かれ、相対論的KMS構造が確認された。
• 熱Wightman分布は空間的に分離された領域で解析的であることが、定理2.10と類似の議論によって確立された。
• ミンコフスキー空間 ℝ¹⁺¹ 上の熱状態は、Osterwalder-Schröder再構成を介して、空間周長βのアインシュタイン宇宙における真空状態とユニタリ同値である。
• モデルはすべてのn ≥ 2に対して相対論的KMS条件を満たし、GérardとJäkel (2010) の二点関数に関する結果を一般化した。