[論文レビュー] The renormalisation group for the truncated conformal space approach on the cylinder

Philip Giokas, G.M.T. Watts|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2011

Physics of Superconductivity and Magnetism参考文献 15被引用数 53

ひとこと要約

本稿は、円筒上でのTruncated Conformal Space Approach (TCSA)に、正準化群 (RG) の補正を導入し、主要な切断効果を結合定数の正準化とエネルギーの再スケーリングとして同定する。TCSAのエネルギー間隔は、$ h > 3/4 $ の摂動に対して収束しないが、これらのRG補正を施せば、エネルギー間隔の比は収束することが示され、2次元CFTにおけるバルク摂動の予測力が著しく向上する。

ABSTRACT

In this paper we continue the study of the truncated conformal space approach to perturbed conformal field theories, this time applied to bulk perturbations and focusing on the leading truncation-dependent corrections to the spectrum. We find expressions for the leading terms in the ground state energy divergence, the coupling constant renormalisation and the energy rescaling. We apply these methods to problems treated in two seminal papers and show how these RG improvements greatly increase the predictive power of the TCSA approach. One important outcome is that the TCSA spectrum of excitations is predicted not to converge for perturbations of conformal weight greater than 3/4, but the ratios of excitation energies should converge.

研究の動機と目的

• バルク摂動における円筒上でのTruncated Conformal Space Approach (TCSA)の収束性の悪さと切断アーティファクトを改善すること。
• 基礎状態の発散に加えて、主要な切断依存補正を同定・定量すること、特に結合定数の正準化とエネルギー再スケーリングを特定すること。
• 標準的なCFTデータ（スケーリング次元、三点関数、モジュラーS行列）のみを用いて、摂動的RG補正を適用することでTCSAの予測精度を向上させること。
• TCSAのエネルギー間隔が収束する条件、特に$ h > 3/4 $ の摂動に対して収束するかどうかを特定すること。
• 円筒上とストリップ上でのTCSAの有効性を比較し、特に単純な正準化効果の有無を検討すること。

提案手法

• 著者らは、共形場理論の技法と円筒上でのTCSAハミルトニアンの構造を用いて、一次の結合定数正準化とエネルギー再スケーリングの摂動的表現を導出する。
• 円筒を$ w = \exp(2\pi z/R) $で複素平面にマッピングし、ハミルトニアンをバーリゾロ生成子$ L_0 $と$ \bar{L}_0 $の形で表現する。摂動は次元なしの結合定数$ \lambda_i \propto \mu_i R^{y_i} $で記述され、$ y_i = 2 - 2h_i $である。
• TCSAは、レベルまたは全エネルギーでヒルベルト空間を切断することで実装され、主要な補正は、切断レベルの関数としての基底状態エネルギーとエネルギー間隔の発散行動から抽出される。
• この手法は、三重臨界イジング模型と$ \mathcal{M}_{9,10} $模型に、$ h = 4/5 $ の場の摂動を加えて適用し、異なる切断レベルでの結果を比較する。
• 数値的妥当性は、Mathematicaを用いて、RG補正を施す前後で、異なる切断レベルにおけるTCSAデータを比較することで確認される。
• ストリップの場合も数値的に解析し、同様の単純な正準化効果が存在するかを検証する。固定境界条件を用いた$ \mathcal{M}_A^{(-)}_4 $模型を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 TCSAにおける、基底状態エネルギー発散を超える主要な切断依存補正とは何か？
• RQ2 結合定数の正準化とエネルギー再スケーリングは、バルク摂動CFTにおけるTCSAエネルギー間隔の収束にどのように影響するか？
• RQ3 $ h > 3/4 $ の摂動に対して、TCSAのエネルギー間隔は収束するのか？もしそうでなければ、RG補正を施せばエネルギー間隔の比は収束するのか？
• RQ4 ストリップ上でも円筒上と同様のRG補正が適用可能か、境界条件が主要な切断効果を変えるか？
• RQ5 四点関数や共形ブロックを必要とせず、標準的なCFTデータ（スケーリング次元、三点関数、モジュラーS行列）のみで、$ h > 3/4 $ のモデルに対してもTCSAを信頼性高く適用可能か？

主な発見

• $ h > 3/4 $ の摂動に対して、TCSAのエネルギー間隔は、発散するエネルギー再スケーリング効果のため収束しない。
• しかし、エネルギー再スケーリングを適切にRG補正で補正すれば、エネルギー間隔の比は収束する。
• 主要な切断補正は、結合定数の正準化と表現依存のエネルギー再スケーリングであり、両者とも摂動的に導出された。
• 三重臨界イジング模型と$ \mathcal{M}_{9,10} $模型（$ h = 4/5 $）に、これらのRG補正を適用することで、TCSAの結果の収束性と正確性が著しく向上する。
• 数値的証拠から、ストリップ上では、異なるレベルのTCSAデータを単一の曲線にマッピングする単純な結合定数正準化は存在せず、円筒とは異なり、より複雑な切断効果が存在することが示唆される。
• RG補正は、四点関数を必要とせず、スケーリング次元、三量関数、モジュラーS行列といった標準的なCFTデータのみで実行可能であり、実用的かつ広範に適用可能である。