[論文レビュー] The repetition threshold for binary rich words

James D. Currie, Lucas Mol+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2019

semigroups and automata theory被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、バラナワルとシャライトの予想である、無限二進リッチ語における繰り返し閾値が $2 + \sqrt{2}/2 \approx 2.707$ であることを、$14/5$-自由な無限二進リッチ語の構造定理を証明し、すべての such 語が正確に $2 + \sqrt{2}/2$ の臨界指数を持つことによって確認する。著者らは、語の構造を特徴付けるために自己写像 $f$、$g$、$h$ を用い、臨界指数が $f(h^\omega(0))$ および $f(g(h^\omega(0)))$ の両方で達成されることを示し、語の組み合わせ論における未解決問題を解決する。

ABSTRACT

A word of length $n$ is rich if it contains $n$ nonempty palindromic factors. An infinite word is rich if all of its finite factors are rich. Baranwal and Shallit produced an infinite binary rich word with critical exponent $2+\sqrt{2}/2$ ($\approx 2.707$) and conjectured that this was the least possible critical exponent for infinite binary rich words (i.e., that the repetition threshold for binary rich words is $2+\sqrt{2}/2$). In this article, we give a structure theorem for infinite binary rich words that avoid $14/5$-powers (i.e., repetitions with exponent at least 2.8). As a consequence, we deduce that the repetition threshold for binary rich words is $2+\sqrt{2}/2$, as conjectured by Baranwal and Shallit. This resolves an open problem of Vesti for the binary alphabet; the problem remains open for larger alphabets.

研究の動機と目的

• ヴェスティが提起した、無限二進リッチ語における繰り返し閾値を特定する未解決問題に取り組む。これはバラナワルとシャライトの予想に基づく。
• 無限二進リッチ語における最小の臨界指数が $2 + \sqrt{2}/2$ であることを確認する。
• 自己写像 $f$、$g$、$h$ を用いて、無限 $14/5$-自由二進リッチ語の構造的特徴づけを確立する。
• $f(h^\omega(0))$ および $f(g(h^\omega(0)))$ の臨界指数が正確に $2 + \sqrt{2}/2$ であることを示し、予想を確認する。
• より大きなアルファベット上でのリッチ語における繰り返し閾値に関する今後の研究の基盤を提供する。

提案手法

• 論文は、無限 $14/5$-自由二進リッチ語の任意の後ろ切りが、ある三文字アルファベット上の無限語 $w_n$ に対して $f(h^n(w_n))$ または $f(g(h^n(w_n)))$ の形であるという構造定理を導入する。
• キーマッピング $f: \Sigma_3^* \to \Sigma_2^*$、$g: \Sigma_3^* \to \Sigma_3^*$、$h: \Sigma_3^* \to \Sigma_3^*$ を用い、三文字語を二文字語または三文字語に写像する。$f$ はリッチ性を保存し、$g$ は $h$ と他の自己写像の合成である。
• Sturmian 語および連分数の性質、特に一般化された黄金比 $\varphi_k$ を用いて、$f(h^\omega(0))$ および $f(g(h^\omega(0)))$ の繰り返しの分析を実施する。
• 臨界指数は、$k \to \infty$ のとき $2 + \sqrt{2}/2$ に収束する列 $E_k = 2 + \frac{1 - 1/q_{k-1}}{1 + q_{k-2}/q_{k-1}}$ の極限として計算される。
• 帰納法を用いて、列 $E_k$ が厳密に増加し、$2 + \sqrt{2}/2$ に収束することを証明し、繰り返し指数の上界を確立する。
• ダマニクとレンツの標準語および準標準語の共役に関する結果を応用し、繰り返し因子の可能な指数を有界化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての無限二進リッチ語の中で、最小の臨界指数は何か？
• RQ2 バラナワルとシャライトの予想である、二進リッチ語における繰り返し閾値が $2 + \sqrt{2}/2$ であるという予想を形式的に証明できるか？
• RQ3 自己写像を用いて、$14/5$-自由な無限二進リッチ語の構造をどのように特徴づけられるか？
• RQ4 臨界指数が $2 + \sqrt{2}/2$ であるような異なる無限二進リッチ語が複数存在するか？
• RQ5 自己写像 $f$、$g$、$h$ は、このような語の生成と解析においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• 二進リッチ語における繰り返し閾値は正確に $2 + \sqrt{2}/2$ であり、バラナワルとシャライトの予想が確認された。
• すべての無限 $14/5$-自由二進リッチ語は、ある $w_n \in \Sigma_3^\omega$ に対して $f(h^n(w_n))$ または $f(g(h^n(w_n)))$ の形の後ろ切りを持つ。これは完全な構造的特徴づけを確立する。
• $f(h^\omega(0))$ の臨界指数は $2 + \sqrt{2}/2$ であり、予想された閾値と一致する。
• $f(g(h^\omega(0)))$ の臨界指数も $2 + \sqrt{2}/2$ であり、最小の可能な指数を達成する複数のモルフィック構成が存在することを示す。
• 列 $E_k = 2 + \frac{1 - 1/q_{k-1}}{1 + q_{k-2}/q_{k-1}}$ は厳密に増加し、$2 + \sqrt{2}/2$ に収束する。これにより、このような語における繰り返し指数の上界が証明される。
• 補完的対称ローテ語、例えば $f(h^\omega(0))$ および $f(g(h^\omega(0)))$ が最小の臨界指数を達成することが示され、結果が既知のリッチ語のクラスと関連づけられる。