[論文レビュー] The representation of a meromorphic function as the quotient of entire functions and Paley problem in C^n: survey of some results

Б. Н. Хабибуллин|ArXiv.org|Feb 21, 2005

Meromorphic and Entire Functions参考文献 38被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、複素数体ℂⁿにおける有理型関数の整関数の商としての表現を調査し、一般化されたネヴァンリンナ特徴量を用いた成長推定に注目する。最大成長とネヴァンリンナ特徴量の比に対する鋭い上界を確立し、整関数および有理型関数の有限の下付加指数に対して最適性を示している。複素数多変数関数論と積分不等式を用いて証明されている。

ABSTRACT

The classical representation problem for a meromorphic function f in C^n, n>=1, consists in representing f as the quotient f=g/h of two entire functions g and h, each with logarithm of modulus majorized by a function as close as possible to the Nevanlinna characteristic. Here we introduce generalizations of the Nevanlinna characteristic and give a short survey of classical and recent results on the representation of a meromorphic function in terms such characteristics. When f has a finite lower order, the Paley problem on best possible estimates of the growth of entire functions g and h in the representations f=g/h will be considered. Also we point out to some unsolved problems in this area.

研究の動機と目的

• 古典的ネヴァンリンナ理論をℂⁿにおける有理型関数に一般化し、円形特徴量やŁ特徴量といった新しい成長特徴量を導入すること。
• ℂⁿにおける有理型関数f = g/hの表現において、整関数gとhの最適成長推定に関するペイリー問題を扱うこと。
• 1変数の結果を複素数多変数に拡張し、特に有限の下付加指数をもつ関数に対して適用すること。
• 高次元複素空間における有理型関数の表現理論における主要な未解決問題を特定・定式化すること。

提案手法

• ℂⁿ上での円形正則函数である$ T_f^c(z) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} u_f(e^{i\theta}z) \, d\theta $を導入し、これは円形の多重サブハーモニック関数である。
• 直接和分解$ \mathbb{C}^n = L_1 \oplus \cdots \oplus L_k $における積分を用いて、ネヴァンリンナ Ł特徴量$ T_\mathbf{\mbox{\L}}(\vec{r};f) $を定義し、古典的特徴量を一般化する。
• 成長を多重サブハーモニック関数として定義するため、$ u_f = \max\{ \log|g_f|, \log|h_f| \} $ または $ u_f = \log(|g_f|^2 + |h_f|^2)^{1/2} $ を用いる。
• 特に$ S(e^x) $が$ x $に関して凸であることを用いた対数スケールにおける積分不等式と凸性の議論を適用し、成長比の上限を導出する。
• ガンマ関数を用いて定義される関数$ P_n(\lambda) $を用い、$ \liminf_{r\to\infty} \frac{M(r;\log|f_\zeta|)}{T(r;f)} $の比に対する鋭い上界を表現する。
• 極値関数の構成により、推定値における等号が達成可能であることを証明し、界の最適性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℂⁿにおける有限の下付加指数$ \lambda $をもつ有理型関数に対して、$ \liminf_{r\to\infty} \frac{M(r;\log|f_\zeta|)}{T(r;f)} $の最良の上界は何か？
• RQ2 定理3.8における鋭い界$ P_n(\lambda) $は、無限大の付加指数をもつ関数へ拡張可能か？
• RQ3 一般化されたネヴァンリンナ Ł特徴量とネヴァンリンナ・ジェンセン $ (\mathbf{\mbox{\L}}, \boldsymbol{\mu}) $-特徴量は、複素数多変数における成長推定をどのように精緻化するか？
• RQ4 定理3.9における上界はすべての$ \lambda \geq 0 $に対して成り立つか、特に$ \lambda > 1 $の場合に有効か。また、不等式(3.11)–(3.12)に関する積分不等式の仮定は一般に証明可能か？

主な発見

• ℂⁿにおける有限の下付加指数$ \lambda $をもつ有理型関数に対して、鋭い上界$ \liminf_{r\to\infty} \frac{M(r;\log|f_\zeta|)}{T(r;f)} \leq P_n(\lambda) $が成り立ち、ある関数では等号が達成可能である。
• 有限の下付加指数$ \lambda \leq 1 $をもつ多重サブハーモニック関数に対して、$ \liminf_{r\to\infty} \frac{M(r;u)}{T(r;u)} \leq P_n(\lambda) $の界は最適かつ鋭い。
• $ \lambda > 1 $の場合、界は$ \liminf_{r\to\infty} \frac{M(r;u)}{T(r;u)} \leq P_1(\rho) \prod_{k=1}^{n-1} b\left(\frac{\rho}{2k}\right) $に改善され、漸近的にダールベルクの結果を上回る。
• $ 0 < \lambda < 1 $および$ n = 2 $の場合、界$ P_n(\lambda) $はダールベルクの結果から導出されないため、複素数多変数への非自明な拡張であることが示される。
• 各$ \rho \geq 0 $に対して、付加指数$ \rho $で正規型をもつ整関数が存在し、$ \lim_{r\to\infty} \frac{M(r;\log|f|)}{T(r;\log|f|)} = P_n(\rho) $を満たす。これは鋭さの確認である。
• $ n = 2 $および$ \lambda > 1 $の場合、不等式(3.11)–(3.12)に関する積分不等式の仮定は未だ証明されていないが、$ \lambda \leq 1 $の場合は成立することが確認されている。